ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 166 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g(х) является убывающей, если:

а) g(x)=x^2+v(-x); в) g(x)=1-x-x^3-x^5;

б) g(x)=1/vx-x; г) g(x)=|x+3|+|x-3|, где x < -5.

Функция \( g(x) \) убывает:

а) \( g(x) = x^2 + \sqrt{-x}; \)
\[
-x \geq 0, \quad x \leq 0;
\]

\[
y = x^2 \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = \sqrt{-x} \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — x; \)
\[
y = \sqrt{x} \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = -x \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в) \( g(x) = 1 — x — x^3 — x^5; \)
\[
y = 1 — x \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = -x^3 — x^5 \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г) \( |x + 3| + |x — 3|, \quad x < -5; \)
\[
y = |x + 3| \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = |x — 3| \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

а) \( g(x) = x^2 + \sqrt{-x} \)

Для функции \( g(x) = x^2 + \sqrt{-x} \) сначала определим область определения функции. Из выражения под квадратным корнем следует, что \( -x \geq 0 \), то есть \( x \leq 0 \).

1. \( y = x^2 \) убывает для \( x \leq 0 \), так как функция квадрата \( x^2 \) убывает на этом интервале.

2. \( y = \sqrt{-x} \) убывает для \( x \leq 0 \), так как корень из \( -x \) убывает при увеличении \( x \) на интервале \( x \leq 0 \).

Ответ: \( g(x) \) убывает на \( (-\infty, 0] \).

б) \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — x \)

1. \( y = \sqrt{x} \) возрастает на \( [0, +\infty) \), так как квадратный корень из \( x \) возрастает для \( x \geq 0 \).

2. \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \) убывает на \( (0, +\infty) \), так как функция \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) убывает с увеличением \( x \).

3. \( y = -x \) убывает на \( (-\infty, +\infty) \), так как линейная функция с отрицательным коэффициентом при \( x \) всегда убывает.

Ответ: \( g(x) \) убывает на \( (0, +\infty) \).

в) \( g(x) = 1 — x — x^3 — x^5 \)

1. \( y = 1 — x \) убывает на \( (-\infty, +\infty) \), так как это линейная функция с отрицательным коэффициентом при \( x \).

2. \( y = -x^3 — x^5 \) убывает на \( (-\infty, +\infty) \), так как кубические и пятикратные степени с отрицательными коэффициентами всегда убывают при \( x \) увеличивается.

Ответ: \( g(x) \) убывает на \( (-\infty, +\infty) \).

г) \( |x + 3| + |x — 3|, \quad x < -5 \)

1. \( y = |x + 3| \) убывает на \( (-\infty, -3] \), так как \( |x + 3| \) будет уменьшаться при \( x \) от \( -\infty \) до \( -3 \).

2. \( y = |x — 3| \) убывает на \( (-\infty, 3] \), так как функция \( |x — 3| \) будет уменьшаться при \( x \) от \( -\infty \) до \( 3 \).

Ответ: \( g(x) \) убывает на \( (-\infty, -5) \).