ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 166 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g(х) является убывающей, если:

а) g(x)=x^2+v(-x); в) g(x)=1-x-x^3-x^5;

б) g(x)=1/vx-x; г) g(x)=|x+3|+|x-3|, где x < -5.

Функция \( g(x) \) убывает:

а) \( g(x) = x^2 + \sqrt{-x}; \)
\[
-x \geq 0, \quad x \leq 0;
\]

\[
y = x^2 \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = \sqrt{-x} \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — x; \)
\[
y = \sqrt{x} \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = -x \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в) \( g(x) = 1 — x — x^3 — x^5; \)
\[
y = 1 — x \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = -x^3 — x^5 \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г) \( |x + 3| + |x — 3|, \quad x < -5; \)
\[
y = |x + 3| \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = |x — 3| \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

Докажите, что функция \( g(x) \) является убывающей:

а) \( g(x) = x^2 + \sqrt{-x} \)

Для доказательства, что функция убывает, рассмотрим каждое слагаемое в \( g(x) \):

1. \( x^2 \) — это возрастающая функция для \( x \geq 0 \) и убывающая для \( x \leq 0 \). Однако, для \( g(x) \) нас интересует часть функции для \( x \leq 0 \), так как подкоренное выражение должно быть определено, то есть \( -x \geq 0 \) или \( x \leq 0 \).

2. \( \sqrt{-x} \) — это функция, определенная только для \( x \leq 0 \), и она убывает на этом промежутке, так как при увеличении \( x \) значение \( \sqrt{-x} \) становится меньше.

Таким образом, оба слагаемых убывают на промежутке \( (-\infty, 0] \), что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — x \)

Для доказательства, что функция убывает, рассмотрим каждое слагаемое:

1. \( \sqrt{x} \) — это функция, которая возрастает на промежутке \( (0, +\infty) \), то есть \( y = \sqrt{x} \) возрастает.

2. \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) — это функция, которая убывает на промежутке \( (0, +\infty) \), так как при увеличении \( x \) значение \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) уменьшается.

3. \( -x \) — это линейная функция, которая убывает на всем промежутке \( (-\infty, +\infty) \).

Таким образом, \( g(x) \) убывает на промежутке \( (0, +\infty) \), что и требовалось доказать.

в) \( g(x) = 1 — x — x^3 — x^5 \)

Для доказательства, что функция убывает, рассмотрим каждое слагаемое:

1. \( 1 — x \) — это линейная функция, которая убывает на промежутке \( (-\infty, +\infty) \).

2. \( -x^3 — x^5 \) — это сумма двух убывающих функций на промежутке \( (-\infty, +\infty) \), так как \( x^3 \) и \( x^5 \) убывают для \( x < 0 \) и возрастают для \( x > 0 \), а их отрицательные значения указывают на убывание всей суммы на данном промежутке.

Таким образом, вся функция убывает на промежутке \( (-\infty, +\infty) \), что и требовалось доказать.

г) \( g(x) = |x + 3| + |x — 3|, \quad x < -5 \)

Для доказательства, что функция убывает на промежутке \( x < -5 \), рассмотрим каждое слагаемое:

1. \( |x + 3| \) — это модуль, который убывает на промежутке \( x < -3 \), так как \( x + 3 \) становится более отрицательным.

2. \( |x — 3| \) — это модуль, который убывает на промежутке \( x < -3 \), так как \( x — 3 \) становится более отрицательным.

На промежутке \( x < -5 \) оба выражения убывают, что и требовалось доказать.