ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 165 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f(x) является возрастающей, если:

а) f(x)=v(x-1)+x^3; в) f(x)=x^6+x^3+1, где x?0;

б) f(x)=x^5+10x-15; г) f(x)=x^2-6/x, где x > 0.

Функция \( f(x) \) возрастает:

а) \( f(x) = \sqrt{x — 1} + x^3; \)
\[
y = x^3 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \sqrt{x — 1} \quad \text{возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( f(x) = x^5 + 10x — 15; \)
\[
y = x^5 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = 10x — 15 \quad \text{возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в) \( f(x) = x^6 + x^3 + 1, \quad x \geq 0; \)
\[
y = x^6 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = x^3 + 1 \quad \text{возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г) \( f(x) = x^2 — \frac{6}{x}, \quad x > 0; \)
\[
y = x^2 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \frac{6}{x} \quad \text{убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

а) \( f(x) = \sqrt{x — 1} + x^3 \)

Для функции \( f(x) = \sqrt{x — 1} + x^3 \), рассмотрим каждую часть функции по отдельности:

1. \( y = x^3 \) возрастает, так как \( x^3 \) — это возрастающая функция для всех \( x \).

2. \( y = \sqrt{x — 1} \) также возрастает для \( x \geq 1 \), так как корень из \( x — 1 \) увеличивается с увеличением \( x \).

Что и требовалось доказать.

б) \( f(x) = x^5 + 10x — 15 \)

Для функции \( f(x) = x^5 + 10x — 15 \), рассмотрим каждую часть функции:

1. \( y = x^5 \) возрастает, так как \( x^5 \) — это возрастающая функция для всех \( x \).

2. \( y = 10x — 15 \) также возрастает, так как это линейная функция с положительным коэффициентом при \( x \).

Что и требовалось доказать.

в) \( f(x) = x^6 + x^3 + 1, \quad x \geq 0 \)

Для функции \( f(x) = x^6 + x^3 + 1 \), рассмотрим каждую часть функции по отдельности:

1. \( y = x^6 \) возрастает для \( x \geq 0 \), так как \( x^6 \) — это возрастающая функция для \( x \geq 0 \).

2. \( y = x^3 + 1 \) также возрастает для \( x \geq 0 \), так как \( x^3 \) возрастает, а добавление 1 сдвигает график функции вверх, но не влияет на монотонность.

Что и требовалось доказать.

г) \( f(x) = x^2 — \frac{6}{x}, \quad x > 0 \)

Для функции \( f(x) = x^2 — \frac{6}{x} \), рассмотрим каждую часть функции по отдельности:

1. \( y = x^2 \) возрастает для \( x > 0 \), так как \( x^2 \) — это возрастающая функция для \( x > 0 \).

2. \( y = \frac{6}{x} \) убывает для \( x > 0 \), так как \( \frac{6}{x} \) уменьшается с увеличением \( x \).

Что и требовалось доказать.