ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 164 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выясните характер монотонности функции:

а) y=v(2x-1); в) y=x^4+v(x-1);

б) y=v(3-5x); г) y=|x|-vx, где x?1.

Возрастает ли функция:

а) \( y = \sqrt{2x — 1}; \)
\[
y = 2x — 1 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \sqrt{2x — 1} \quad \text{возрастает;}
\]

Ответ: возрастает.

б) \( y = \sqrt{3 — 5x}; \)
\[
y = 3 — 5x \quad \text{убывает;}
\]

\[
y = \sqrt{3 — 5x} \quad \text{убывает;}
\]

Ответ: убывает.

в) \( y = x^4 + \sqrt{x — 1}; \)
\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\]

\[
y = x^4 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = x — 1 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \sqrt{x — 1} \quad \text{возрастает;}
\]

Ответ: возрастает.

г) \( y = |x| — \sqrt{x}, \quad x \geq 1; \)
\[
y = |x| \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = \sqrt{x} \quad \text{возрастает;}
\]

Ответ: возрастает.

а) \( y = \sqrt{2x — 1} \)

Функция \( y = \sqrt{2x — 1} \) является возрастающей функцией на промежутке, где выражение под квадратным корнем положительно, то есть \( 2x — 1 \geq 0 \), или \( x \geq \frac{1}{2} \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:

Из функции \( y = \sqrt{2x — 1} \) видно, что квадратный корень из возрастающей функции \( 2x — 1 \) будет также возрастать.

Ответ: Функция \( y = \sqrt{2x — 1} \) возрастает на интервале \( \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \).

б) \( y = \sqrt{3 — 5x} \)

Функция \( y = \sqrt{3 — 5x} \) будет убывать, поскольку выражение под корнем \( 3 — 5x \) уменьшается с увеличением \( x \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:

Функция \( y = \sqrt{3 — 5x} \) убывает, так как \( 3 — 5x \) убывает при \( x \) увеличивается, и квадратный корень из убывающей функции также будет убывать.

Ответ: Функция \( y = \sqrt{3 — 5x} \) убывает на интервале \( (-\infty; \frac{3}{5}) \).

в) \( y = x^4 + \sqrt{x — 1} \)

Для функции \( y = x^4 + \sqrt{x — 1} \), рассмотрим каждую из частей по отдельности:

1. \( y = x^4 \) возрастает на \( [1, +\infty) \), так как степень чётная и \( x^4 \) всегда увеличивается с увеличением \( x \).

2. \( y = \sqrt{x — 1} \) также возрастает на \( [1, +\infty) \), так как корень из \( x — 1 \) также возрастает при увеличении \( x \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:

Функция \( y = x^4 + \sqrt{x — 1} \) возрастает на интервале \( [1, +\infty) \), так как обе составляющие функции возрастали на этом интервале.

Ответ: Функция \( y = x^4 + \sqrt{x — 1} \) возрастает на интервале \( [1, +\infty) \).

г) \( y = |x| — \sqrt{x}, \quad x \geq 1 \)

1. Функция \( y = |x| \) возрастает на интервале \( [1, +\infty) \), так как \( |x| \) увеличивается с увеличением \( x \) для \( x \geq 0 \).

2. Функция \( y = \sqrt{x} \) также возрастает на интервале \( [1, +\infty) \), так как квадратный корень из \( x \) увеличивается с увеличением \( x \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:

Объединяя две возрастающие функции, мы получаем, что функция \( y = |x| — \sqrt{x} \) также возрастает на интервале \( [1, +\infty) \), так как и \( |x| \), и \( \sqrt{x} \) возрастали на этом интервале.

Ответ: Функция \( y = |x| — \sqrt{x} \) возрастает на интервале \( [1, +\infty) \).