ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 163 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

а) y=(7x-31)/(x-5) убывает на промежутке (5; +?);

б) y=(6x-17)/(x-2) возрастает на промежутке (-?; 0].

Доказать, что функция:

а) \( y = \frac{7x — 31}{x — 5}; \)
\[
y = 7(x — 5) + 4 \quad \frac{4}{x — 5};
\]
Убывает на \( (5; +\infty) \):
\[
y = x — 5 > 0 \quad \text{возрастает;}
\]

\[
y = 7 + \frac{4}{x — 5} \quad \text{убывает;}
\]

б) \( y = \frac{6x — 17}{x — 2}; \)
\[
y = 6(x — 2) — 5 \quad \frac{5}{x — 2};
\]
Возрастает на \( (-\infty; 0]; \):

\[
y = 6 — \frac{5}{x — 2} \quad \text{возрастает;}
\]

а) Доказательство, что функция:

\[
y = \frac{7x — 31}{x — 5};
\]

Первый шаг: упростим выражение.

Для этого разделим числитель на знаменатель:

\[
y = \frac{7x — 31}{x — 5} = 7 + \frac{4}{x — 5};
\]

Мы видим, что функция состоит из двух частей: линейной функции \( 7 \) и дробной части \( \frac{4}{x — 5} \).

Для анализа монотонности рассмотрим производную функции.

Шаг 1: Производная функции

Возьмём производную от функции \( y = 7 + \frac{4}{x — 5} \):

\[
y’ = 0 + \frac{-4}{(x — 5)^2};
\]

Шаг 2: Анализ знака производной

Так как \( (x — 5)^2 \) всегда положительно, производная \( y’ = \frac{-4}{(x — 5)^2} \) всегда отрицательна для \( x > 5 \). Это значит, что функция убывает на интервале \( (5; +\infty) \).

Ответ: функция убывает на \( (5; +\infty) \).

б) Доказательство для функции:

\[
y = \frac{6x — 17}{x — 2};
\]

Первый шаг: упростим выражение аналогично предыдущему:

\[
y = \frac{6x — 17}{x — 2} = 6 + \frac{-5}{x — 0};
\]

Шаг 1: Производная функции

Теперь вычислим производную от функции \( y = 6 + \frac{-5}{x — 2} \):

\[
y’ = 0 + \frac{5}{(x — 2)^2};
\]

Шаг 2: Анализ знака производной

Так как \( (x — 2)^2 \) всегда положительно, производная \( y’ = \frac{5}{(x — 2)^2} \) всегда положительна для \( x \neq 2 \). Это значит, что функция возрастает на интервале \( (-\infty; 2) \).

Ответ: функция возрастает на \( (-\infty; 2) \).