ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 162 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1/(v3+1).

Составить уравнение:

\( a, b, c \in \mathbb{Z}, \quad x_1 = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}; \)

Пусть \( x_2 = \frac{1}{1 — \sqrt{3}} \), тогда:

\[
2 \left( x — \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \right) \left( x — \frac{1}{1 — \sqrt{3}} \right) = 0;
\]

\[
2 \left( x^2 — \frac{x}{\sqrt{3} — 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \right) = 0;
\]

\[
2 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{3}} + x — \frac{1}{3} \right) = 0;
\]

\[
2 \left( x^2 + \frac{2x}{1 — 3} \right) = 0;
\]

\[
2(x^2 — \frac{1}{2}) = 0; \quad 2x^2 + 2x — 1 = 0;
\]

Задано уравнение с корнями \( x_1 = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \) и \( x_2 = \frac{1}{1 — \sqrt{3}} \):

Нам нужно составить уравнение, корнями которого будут \( x_1 \) и \( x_2 \). Мы используем следующее общее выражение для уравнения с корнями:

\[
2 \left( x — \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \right) \left( x — \frac{1}{1 — \sqrt{3}} \right) = 0;
\]

Шаг 1: Раскрытие скобок и упрощение.

Первым шагом раскроем скобки. Мы получим два множителя, которые будем умножать:

\[
= 2 \left( x^2 — \left( \frac{x}{\sqrt{3} — 1} \right) + \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \right) = 0;
\]

Шаг 2: Упростим дроби и выражения.

Для упрощения выражения внутри скобок, рассмотрим, как можно упростить дроби:

В первую очередь, нужно выполнить замену для выражений \( \frac{x}{\sqrt{3} — 1} \) и \( \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \), чтобы избавиться от мнимых дробей. Умножим числитель и знаменатель на соответствующие сопряжённые выражения.

После упрощения и приведения подобным образом, мы получаем выражение:

\[
2 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{3}} + x — \frac{1}{3} \right) = 0;
\]

Шаг 3: Упростим дроби и выразим в более удобной форме.

Теперь у нас имеется выражение, которое можно упростить. Мы продолжаем умножать и упрощать каждый член:

\[
2 \left( x^2 + \frac{2x}{1 — 3} \right) = 0;
\]

После упрощения этих дробей и дальнейшего приведения получаем:

\[
2(x^2 — \frac{1}{2}) = 0;
\]

Шаг 4: Окончательное упрощение.

Теперь, умножив на 2, у нас получается окончательное уравнение:

\[
2x^2 + 2x — 1 = 0;
\]

Ответ: \( 2x^2 + 2x — 1 = 0 \).