ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 153 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Область определения функции y=g(x) — множество R. Известно также, что g(x)=0, если x=-5 и x=1; g(x) > 0, если x?(-?; -5)?(1; +?). Найдите нули функций y=|g(x)| и y=g(|x|) и промежутки, на которых каждая из этих функций принимает положительные (отрицательные) значения.

О функции \( y = g(x) \) известно:

\[
g(x) < 0 \quad \text{при} \quad x \in (-5; 1);
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty);
\]

а) \( y = \lg(x); \)
\[
g(x) = 0 \quad \text{при} \quad x = -5 \text{ и } x = 1;
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty);
\]

б) \( y = g(|x|); \)
\[
g(x) = 0 \quad \text{при} \quad x = -1 \text{ и } x = 1;
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty);
\]

О функции \( y = g(x) \) известно:

\[
g(x) < 0 \quad \text{при} \quad x \in (-5; 1);
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty);
\]

а) \( y = \lg(x) \)

Для функции \( y = \lg(x) \), логарифм определён только для положительных значений \( x \), то есть \( x > 0 \). В данном случае, рассматриваем промежутки, на которых \( g(x) \) меняет знак:

1. \( g(x) = 0 \) при \( x = -5 \) и \( x = 1 \) — эти точки не влияют на логарифм, так как они находятся вне области определения функции \( \lg(x) \) (нельзя брать логарифм от нуля или отрицательных чисел).

2. \( g(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \). Логарифм не существует для отрицательных чисел, поэтому только на промежутке \( (1; +\infty) \) логарифм имеет смысл.

Ответ:

\[
g(x) = 0 \quad \text{при} \quad x = -5 \text{ и } x = 1;
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty);
\]

б) \( y = g(|x|) \)

Для функции \( y = g(|x|) \), где используется абсолютное значение \( |x| \), функция \( g(x) \) будет одинаковой как для положительных, так и для отрицательных значений \( x \). Следовательно, интервалы, где \( g(x) \) меняет знак, изменяются, так как теперь мы рассматриваем \( |x| \), а не просто \( x \). Рассмотрим, как изменится поведение функции:

1. \( g(x) = 0 \) при \( x = -1 \) и \( x = 1 \), так как на этих точках функция меняет свой знак, используя абсолютное значение.

2. \( g(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \), что означает, что функция положительна как для отрицательных, так и для положительных значений \( x \), кроме точек \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Ответ:

\[
g(x) = 0 \quad \text{при} \quad x = -1 \text{ и } x = 1;
\]

\[
g(x) > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty);
\]