ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 150 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны функции f(x)=|x^2-4x+3| и g(x)=x^2-6|x|+8.

Для каждой из этих функций найдите: а) область определения; б) область значений: в) нули функции; г) промежутки возрастания и промежутки убывания.

\( f(x) = |x^2 — 4x + 3|; \)

а) Область определения:
\[
x \in \mathbb{R}, \quad D(f) = (-\infty; +\infty);
\]

б) Область значений:
\[
x_0 = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_0 = \frac{4}{2} = 2;
\]

\[
y_0 = 4 — 8 + 3 = -1;
\]

\[
x^2 — 4x + 3 \geq -1;
\]

\[
E(f) = [0; +\infty);
\]

в) Нули функции:
\[
x^2 — 4x + 3 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

г) Промежутки монотонности:
Возрастает на \([1; 2]\) \cup \([3; +\infty)\);
Убывает на \((- \infty; 1] \cup [2; 3]\);

г) \( g(x) = x^2 — 6|x| + 8; \)

а) Область определения:
\[
x \in \mathbb{R}, \quad D(g) = (-\infty; +\infty);
\]

б) Область значений:
\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1;
\]

\[
x^2 — 6x + 8 \geq -1;
\]

\[
E(g) = [-1; +\infty);
\]

в) Нули функции:
\[
x^2 — 6x + 8 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 4 \cdot 8 + 36 — 32 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

г) Промежутки монотонности:
Возрастает на \([1; 2]\) \cup \([3; +\infty)\);
Убывает на \((- \infty; 1] \cup [2; 3]\);

1) \( f(x) = |x^2 — 4x + 3| \)

а) Область определения:

Так как функция содержит абсолютное значение, то она определена для всех значений \( x \), так как выражение внутри модуля не имеет ограничений. Таким образом, область определения функции:

\[
x \in \mathbb{R}, \quad D(f) = (-\infty; +\infty);
\]

б) Область значений:

Для нахождения области значений, решим неравенство, которое будет показывать минимальное значение функции.

Рассмотрим выражение \( x^2 — 4x + 3 \). Найдём его вершину:

\[
x_0 = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_0 = \frac{4}{2} = 2;
\]

Теперь подставим \( x = 2 \) в выражение \( x^2 — 4x + 3 \) для нахождения минимального значения:

\[
y_0 = 4 — 8 + 3 = -1;
\]

Таким образом, минимальное значение функции равно -1, и область значений функции \( f(x) = |x^2 — 4x + 3| \) будет:

\[
E(f) = [0; +\infty);
\]

в) Нули функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( x^2 — 4x + 3 = 0 \). Найдём их:

\[
x^2 — 4x + 3 = 0;
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4;
\]

Корни уравнения будут:

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

г) Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем производную функции \( f(x) = |x^2 — 4x + 3| \). Функция будет возрастать и убывать на промежутках в зависимости от положения выражения внутри модуля.

Функция возрастает на промежутках \( [1; 2] \cup [3; +\infty) \), а убывает на промежутках \( (-\infty; 1] \cup [2; 3] \).

2) \( g(x) = x^2 — 6|x| + 8 \)

а) Область определения:

Так как функция содержит абсолютное значение, она определена для всех значений \( x \). Таким образом, область определения функции:

\[
x \in \mathbb{R}, \quad D(g) = (-\infty; +\infty);
\]

б) Область значений:

Для нахождения области значений, решим неравенство, которое будет показывать минимальное значение функции.

Рассмотрим выражение \( x^2 — 6x + 8 \). Найдём его вершину:

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3;
\]

Теперь подставим \( x = 3 \) в выражение \( x^2 — 6x + 8 \) для нахождения минимального значения:

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1;
\]

Таким образом, минимальное значение функции равно -1, и область значений функции \( g(x) = x^2 — 6|x| + 8 \) будет:

\[
E(g) = [-1; +\infty);
\]

в) Нули функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( x^2 — 6x + 8 = 0 \). Найдём их:

\[
x^2 — 6x + 8 = 0;
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4;
\]

Корни уравнения будут:

\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

г) Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем производную функции \( g(x) = x^2 — 6|x| + 8 \). Функция будет возрастать и убывать на промежутках в зависимости от положения выражения внутри модуля.

Функция возрастает на промежутках \( [1; 2] \cup [3; +\infty) \), а убывает на промежутках \( (-\infty; 1] \cup [2; 3] \).