ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 15 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a+1)(b+1)(ab+1) > 8ab.

Доказать неравенство:
\((a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab;\)

1) По неравенству Коши:
\[
\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a \cdot 1}, \quad a + 1 \geq 2\sqrt{a};
\]

\[
\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b \cdot 1}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b};
\]

\[
\frac{ab + 1}{2} \geq \sqrt{ab \cdot 1}, \quad ab + 1 \geq 2\sqrt{ab};
\]

2) В заданном неравенстве:
\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{ab} = 8ab;
\]

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать неравенство \( (a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab \).

1) Применение неравенства Коши:

Для того чтобы доказать неравенство, используем неравенство Коши-Буняковского для трех множителей:

Для первого множителя:

\[
\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a \cdot 1}, \quad \text{следовательно,} \quad a + 1 \geq 2\sqrt{a}.
\]

Для второго множителя:

\[
\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b \cdot 1}, \quad \text{следовательно,} \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b}.
\]

Для третьего множителя:

\[
\frac{ab + 1}{2} \geq \sqrt{ab \cdot 1}, \quad \text{следовательно,} \quad ab + 1 \geq 2\sqrt{ab}.
\]

2) Используем эти неравенства в исходной задаче:

Теперь подставим эти результаты в левую часть исходного неравенства:

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{ab} = 8ab.
\]

Таким образом, мы доказали, что:

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab.
\]

Ответ: Неравенство доказано.