ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 15 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a+1)(b+1)(ab+1) > 8ab.

Доказать неравенство:
\((a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab;\)

1) По неравенству Коши:
\[
\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a \cdot 1}, \quad a + 1 \geq 2\sqrt{a};
\]

\[
\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b \cdot 1}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b};
\]

\[
\frac{ab + 1}{2} \geq \sqrt{ab \cdot 1}, \quad ab + 1 \geq 2\sqrt{ab};
\]

2) В заданном неравенстве:
\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{ab} = 8ab;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при неотрицательных значениях \( a \) и \( b \) верно неравенство:

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) > 8ab.
\]

Шаг 1: Для доказательства воспользуемся неравенством Коши-Шварца (или неравенством AM-GM), которое гласит, что для любых положительных чисел \( x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n \) выполняется следующее неравенство:

\[
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n},
\]

где равенство наступает только в том случае, если все \( x_i \) равны.

Для доказательства неравенства в данной задаче применим это неравенство к трём выражениям \( a + 1 \), \( b + 1 \) и \( ab + 1 \).

Шаг 2: Применим неравенство Коши-Шварца (AM-GM) к каждому из этих выражений:

1) Применение неравенства к \( a + 1 \):

Для выражения \( a + 1 \), применяем неравенство Коши для двух чисел \( a \) и \( 1 \):

\[
\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a \cdot 1} = \sqrt{a}.
\]

Умножив обе части на 2, получаем:

\[
a + 1 \geq 2\sqrt{a}.
\]

2) Применение неравенства к \( b + 1 \):

Точно так же для выражения \( b + 1 \), применяем неравенство Коши для \( b \) и \( 1 \):

\[
\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b \cdot 1} = \sqrt{b}.
\]

Умножив обе части на 2, получаем:

\[
b + 1 \geq 2\sqrt{b}.
\]

3) Применение неравенства к \( ab + 1 \):

Для выражения \( ab + 1 \), применяем неравенство Коши для \( ab \) и \( 1 \):

\[
\frac{ab + 1}{2} \geq \sqrt{ab \cdot 1} = \sqrt{ab}.
\]

Умножив обе части на 2, получаем:

\[
ab + 1 \geq 2\sqrt{ab}.
\]

Шаг 3: Теперь подставим полученные неравенства в исходное выражение:

Мы имеем следующее выражение для \( (a + 1)(b + 1)(ab + 1) \):

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq (2\sqrt{a})(2\sqrt{b})(2\sqrt{ab}).
\]

Теперь умножим все эти выражения:

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} = 8ab.
\]

Шаг 4: Мы получаем, что:

\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab,
\]

что и требовалось доказать. При этом, неравенство строго выполняется, если хотя бы одно из выражений \( a \), \( b \), \( ab \) не равно 1, то есть выражения не равны своим средним геометрическим значениям, что приводит к строгому неравенству.

Ответ: \( (a + 1)(b + 1)(ab + 1) \geq 8ab \), что и требовалось доказать.