ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 143 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^2-5|x|+6=0; в) (x+2)^2+9(x+2)+20=0;

б) x^2-2|x|-35=0; г) (x-5)^2+2(x-5)-63=0.

Решить уравнение:

а) \( x^2 — 5|x| + 6 = 0; \)
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 25 — 24 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
|x_1| = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad |x_2| = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 3;
\]

Ответ: \( -3; -2; 2; 3 \).

б) \( x^2 — 2|x| — 35 = 0; \)
\[
D(x) = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144, \quad \text{тогда:}
\]

\[
|x_1| = \frac{2 — 12}{2} = -5, \quad |x_2| = \frac{2 + 12}{2} = 7;
\]

Ответ: \( -7; 7 \).

в) \( (x \pm 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0; \)
Пусть \( y = x + 2, \quad \text{тогда:} \)
\[
y^2 + 9y + 20 = 0;
\]

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-9 — 1}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-9 + 1}{2} = -4;
\]
Первое значение:
\[
x + 2 = -5, \quad x = -7;
\]
Второе значение:
\[
x + 2 = -4, \quad x = -6;
\]

Ответ: \( -7; -6 \).

г) \( (x — 5)^2 + 2(x — 5) — 63 = 0; \)
Пусть \( y = x — 5, \quad \text{тогда:} \)
\[
y^2 + 2y — 63 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 63 = 4 + 252 = 256, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7;
\]
Первое значение:
\[
x — 5 = 7, \quad x = -4;
\]
Второе значение:
\[
x — 5 = -7, \quad x = 12;
\]

Ответ: \( -4; 12 \).

а) \( x^2 — 5|x| + 6 = 0; \)

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим два случая для абсолютного значения \( |x| \). Поскольку \( |x| \) зависит от знака \( x \), разделим уравнение на два случая.

1. Первый случай: \( x \geq 0 \), то есть \( |x| = x \).

Подставим \( |x| = x \) в исходное уравнение:

\( x^2 — 5x + 6 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Так как \( x \geq 0 \), оба корня \( x = 2 \) и \( x = 3 \) подходят для этого случая.

2. Второй случай: \( x < 0 \), то есть \( |x| = -x \).

Подставим \( |x| = -x \) в исходное уравнение:

\( x^2 — 5(-x) + 6 = 0 \), что упрощается до:

\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \)

\( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \)

Так как \( x < 0 \), оба корня \( x = -3 \) и \( x = -2 \) подходят для этого случая.

Ответ: \( x = -3; -2; 2; 3 \).

б) \( x^2 — 2|x| — 35 = 0; \)

Аналогично решим это уравнение, рассмотрев два случая для абсолютного значения \( |x| \).

1. Первый случай: \( x \geq 0 \), то есть \( |x| = x \).

Подставим \( |x| = x \) в исходное уравнение:

\( x^2 — 2x — 35 = 0 \)

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D(x) = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 12}{2} = -5 \) (не подходит, так как для \( x \geq 0 \) не может быть отрицательного значения)

\( x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7 \)

Ответ: \( x = 7 \) для случая \( x \geq 0 \).

2. Второй случай: \( x < 0 \), то есть \( |x| = -x \).

Подставим \( |x| = -x \) в исходное уравнение:

\( x^2 + 2x — 35 = 0 \)

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D(x) = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 12}{2} = -7 \)

\( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = 5 \) (не подходит, так как для \( x < 0 \) не может быть положительного значения)

Ответ: \( x = -7 \) для случая \( x < 0 \).

Ответ: \( x = -7; 7 \).

в) \( (x \pm 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0; \)

Для упрощения решим уравнение, введя замену: \( y = x + 2 \). Тогда уравнение становится:

\( y^2 + 9y + 20 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( y_1 = \frac{-9 — 1}{2} = -5 \)

\( y_2 = \frac{-9 + 1}{2} = -4 \)

Теперь, вернувшись к переменной \( x \), решим два уравнения:

1. \( x + 2 = -5 \), тогда \( x = -7 \)

2. \( x + 2 = -4 \), тогда \( x = -6 \)

Ответ: \( x = -7; -6 \).

г) \( (x — 5)^2 + 2(x — 5) — 63 = 0; \)

Для упрощения решим уравнение, введя замену: \( y = x — 5 \). Тогда уравнение становится:

\( y^2 + 2y — 63 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 63 = 4 + 252 = 256 \)

Корни уравнения вычисляются по формуле:

\( y_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9 \)

\( y_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7 \)

Теперь, вернувшись к переменной \( x \), решим два уравнения:

1. \( x — 5 = 7 \), тогда \( x = 12 \)

2. \( x — 5 = -9 \), тогда \( x = -4 \)

Ответ: \( x = -4; 12 \).