ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 137 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что графики функций:

а) y=(3x-7)/(3x+7) и y=(3x+7)/(3x-7) симметричны относительно оси у;

б) y=(10-2x)/(10+2x) и y=(2x+10)/(2x-10) симметричны относительно точки О(0; 0);

в) y=(x^2-3x+8)/(x^2+3x+8) и y=(x^2+3x+8)/(x^2-3x+8) симметричны относительно оси у;

г) y=(x^3-8x+1)/(x^3+8x+1) и y=(1+8x-x^3)/(x^3+8x-1) симметричны относительно точки O(0; 0).

Доказать, что графики функций:

a) Симметричны относительно оси \( y \):
\[
f(x) = \frac{3x — 7}{3x + 7}, \quad g(x) = \frac{3x + 7}{3x — 7};
\]

\[
f(-x) = \frac{-3x — 7}{-3x + 7} = g(x);
\]

Что и требовалось доказать.

б) Симметричны относительно точки \( O \):
\[
f(x) = \frac{10 — 2x}{10 + 2x}, \quad g(x) = \frac{2x + 10}{2x — 10};
\]
\[
-f(-x) = -\frac{10 + 2x}{10 — 2x} = \frac{2x + 10}{2x — 10} = g(x);
\]
Что и требовалось доказать.

в) Симметричны относительно оси \( y \):
\[
f(x) = \frac{x^2 — 3x + 8}{x^2 + 3x + 8}, \quad g(x) = \frac{x^2 + 3x + 8}{x^2 — 3x + 8};
\]

\[
f(-x) = \frac{x^2 + 3x + 8}{x^2 — 3x + 8} = g(x);
\]

Что и требовалось доказать.

г) Симметричны относительно точки \( O \):
\[
f(x) = \frac{x^3 — 8x + 1}{x^3 + 8x + 1}, \quad g(x) = \frac{1 + 8x — x^3}{x^3 + 8x — 1};
\]

\[
f(-x) = \frac{-x^3 + 8x + 1}{-x^3 + 8x + 1} = g(x);
\]

Что и требовалось доказать.

Доказательства симметрии графиков функций:

a) Симметричны относительно оси \( y \):

Даны функции:

\( f(x) = \frac{3x — 7}{3x + 7} \)

\( g(x) = \frac{3x + 7}{3x — 7} \)

Чтобы доказать симметрию относительно оси \( y \), нужно показать, что \( f(-x) = g(x) \).

Преобразуем \( f(-x) \):

\[
f(-x) = \frac{3(-x) — 7}{3(-x) + 7} = \frac{-3x — 7}{-3x + 7} = g(x)
\]

Таким образом, \( f(-x) = g(x) \), что и требовалось доказать.

б) Симметричны относительно точки \( O \):

Даны функции:

• \( f(x) = \frac{10 — 2x}{10 + 2x} \)
• \( g(x) = \frac{2x + 10}{2x — 10} \)

Чтобы доказать симметрию графиков функций относительно точки \( O \), необходимо показать, что \( f(-x) = g(x) \).

Рассмотрим \( f(-x) \):

\[
f(-x) = \frac{10 — 2(-x)}{10 + 2(-x)} = \frac{10 + 2x}{10 — 2x}
\]

Теперь, чтобы доказать, что функции симметричны относительно точки \( O \), нужно показать, что \( -f(-x) = g(x) \).

Вычислим \( -f(-x) \):

\[
-f(-x) = -\frac{10 + 2x}{10 — 2x} = \frac{2x + 10}{2x — 10} = g(x)
\]

Таким образом, \( -f(-x) = g(x) \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( -f(-x) = g(x) \), функции симметричны относительно точки \( O \).

в) Симметричны относительно оси \( y \):

Даны функции:

\( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 8}{x^2 + 3x + 8} \)

\( g(x) = \frac{x^2 + 3x + 8}{x^2 — 3x + 8} \)

Чтобы доказать симметрию относительно оси \( y \), нужно показать, что \( f(-x) = g(x) \).

Преобразуем \( f(-x) \):

\[
f(-x) = \frac{(-x)^2 — 3(-x) + 8}{(-x)^2 + 3(-x) + 8} = \frac{x^2 + 3x + 8}{x^2 — 3x + 8} = g(x)
\]

Таким образом, \( f(-x) = g(x) \), что и требовалось доказать.

г) Симметричны относительно точки \( O \):

Даны функции:

\( f(x) = \frac{x^3 — 8x + 1}{x^3 + 8x + 1} \)

\( g(x) = \frac{1 + 8x — x^3}{x^3 + 8x — 1} \)

Чтобы доказать симметрию относительно точки \( O \), нужно показать, что \( f(-x) = g(x) \).

Преобразуем \( f(-x) \):

\[
f(-x) = \frac{(-x)^3 — 8(-x) + 1}{(-x)^3 + 8(-x) + 1} = \frac{-x^3 + 8x + 1}{-x^3 + 8x + 1} = g(x)
\]

Таким образом, \( f(-x) = g(x) \), что и требовалось доказать.

Ответы:

a) \( f(-x) = g(x) \), функции симметричны относительно оси \( y \).

б) \( f(-x) = g(x) \), функции симметричны относительно точки \( O \).

в) \( f(-x) = g(x) \), функции симметричны относительно оси \( y \).

г) \( f(-x) = g(x) \), функции симметричны относительно точки \( O \).