ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 120 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выясните характер монотонности функции:

а) f(x)=v(1/(x^2+1)); б) g(x)=(x^4-5x-8)/x, где x < 0.

Промежутки монотонности

a) \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2 + 1}} \)

Если \( x \geq 0 \), тогда:
\[
y = x^2 + 1 \quad \text{возрастает};
\]

\[
y = \frac{1}{x^2 + 1} \quad \text{убывает};
\]
Если \( x \leq 0 \), тогда:
\[
y = x^2 + 1 \quad \text{убывает};
\]

\[
y = \frac{1}{x^2 + 1} \quad \text{возрастает};
\]

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 0] \); убывает на \( [0; +\infty) \).

b) \( g(x) = \frac{x^4 — 5x — 8}{x}, \quad x < 0 \)

Если \( x < 0 \), тогда:
\[
g(x) = x^3 — 5 — \frac{8}{x};
\]

\[
y = x^3 \quad \text{возрастает};
\]

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 0) \).

a) \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2 + 1}} \)

Шаг 1: Исследуем монотонность для \( x \geq 0 \):

Для \( x \geq 0 \), рассматриваем функцию \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2 + 1}} \). Сначала исследуем функцию внутри корня:

\[
y = x^2 + 1
\]
Эта функция возрастает, так как \( x^2 + 1 \geq 1 \) и является функцией, возрастает с увеличением \( x \).

Теперь рассматриваем основную функцию \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \), которая убывает, так как увеличение \( x^2 \) приводит к уменьшению значения выражения внутри корня.

Шаг 2: Исследуем монотонность для \( x \leq 0 \):

Для \( x \leq 0 \), функция \( y = x^2 + 1 \) убывает, так как \( x^2 \) уменьшается, когда \( x \) убывает.

Функция \( \frac{1}{x^2 + 1} \) возрастает, так как значение \( x^2 + 1 \) также уменьшается с уменьшением \( x \).

Ответ: \( f(x) \) возрастает на \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \).

b) \( g(x) = \frac{x^4 — 5x — 8}{x}, \quad x < 0 \)

Шаг 1: Исследуем монотонность для \( x < 0 \):

Для \( x < 0 \), представим функцию \( g(x) = \frac{x^4 — 5x — 8}{x} \) как сумму двух функций:

\[
g(x) = x^3 — 5 — \frac{8}{x}
\]

Части функции: \( x^3 \) возрастает для \( x < 0 \), так как \( x^3 \) возрастает, когда \( x \) отрицателен. Член \( -\frac{8}{x} \) возрастает, так как при отрицательных значениях \( x \), \( \frac{1}{x} \) убывает.

Ответ: \( g(x) \) возрастает на \( (-\infty; 0) \).