ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 118 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения v(12-6v3)+v(28+10v3) является натуральным числом.

Натуральное число
\[
\sqrt{12 — 6\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} =
\]

\[
= \sqrt{9 — 6\sqrt{3} + 3} + \sqrt{25 + 10\sqrt{3} + 3} =
\]

\[
= \sqrt{(3 — \sqrt{3})^2} + \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} =
\]

\[
= 3 — \sqrt{3} + 5 + \sqrt{3} = 8;
\]

Что и требовалось доказать

Дано выражение:

\[
\sqrt{12 — 6\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}
\]

Шаг 1: Представим выражения под корнями в виде квадратов

Начнем с разложения выражений в подкоренных частях на квадраты:

Для \( \sqrt{12 — 6\sqrt{3}} \) попробуем представить его как \( \sqrt{(a — \sqrt{b})^2} \):

\[
12 — 6\sqrt{3} = (a — \sqrt{b})^2
\]

Раскроем квадрат и приравняем соответствующие члены:

\[
a^2 — 2a\sqrt{b} + b = 12 — 6\sqrt{3}
\]

Таким образом, из сравнения рациональных и иррациональных частей получаем: \( a = 3 \), \( b = 3 \), и получаем:

\[
\sqrt{12 — 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3 — \sqrt{3})^2} = 3 — \sqrt{3}
\]

Шаг 2: Аналогичные преобразования для второго корня

Для \( \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} \) применим аналогичные шаги и представим его как \( \sqrt{(c + \sqrt{d})^2} \):

\[
28 + 10\sqrt{3} = (c + \sqrt{d})^2
\]

Раскроем квадрат и приравняем соответствующие члены:

\[
c^2 + 2c\sqrt{d} + d = 28 + 10\sqrt{3}
\]

Из сравнения рациональных и иррациональных частей получаем: \( c = 5 \), \( d = 3 \), и получаем:

\[
\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = 5 + \sqrt{3}
\]

Шаг 3: Сложение чисел

Теперь мы можем сложить полученные выражения:

\[
3 — \sqrt{3} + 5 + \sqrt{3} = 8
\]

Ответ: \( 8 \).