ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 112 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 40 см. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Стороны равны \(a\) см и \(b\) см:

\[ 2a + 2b = 40, \, b = 20 — a; \]

1) Площадь прямоугольника:
\[ S = ab = a(20 — a) = 20a — a^2; \]

2) Наибольшее значение:
\[
a_0 = -\frac{20}{2(-1)} = 10; \, b_0 = 20 — 10 = 10;
\]

Ответ: 10 см и 10 см.

Заданы стороны прямоугольника:

Стороны прямоугольника равны \( a \) см и \( b \) см. Дано уравнение для периметра прямоугольника:
\[
2a + 2b = 40, \quad b = 20 — a.
\]

1) Площадь прямоугольника:

Площадь прямоугольника \( S \) вычисляется по формуле:

\[
S = ab
\]

Подставляем \( b = 20 — a \) в эту формулу:

\[
S = a(20 — a) = 20a — a^2.
\]

2) Наибольшее значение площади:

Чтобы найти наибольшее значение площади, нужно найти экстремум функции площади. Для этого вычислим производную площади \( S(a) = 20a — a^2 \) по \( a \):

\[
\frac{dS}{da} = 20 — 2a.
\]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти значение \( a \), при котором площадь максимальна:

\[
20 — 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a = 20 \quad \Rightarrow \quad a = 10.
\]

Теперь находим значение \( b \) при \( a = 10 \):

\[
b = 20 — a = 20 — 10 = 10.
\]

Ответ: Наибольшая площадь прямоугольника, когда \( a = 10 \) см и \( b = 10 \) см.