ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 11 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее х (обозначается [х]), а дробной частью числа х называется разность между числом х и его целой частью (обозначается {х}). Например, [5,3]=5, {5,3}=0,3; [-5,3]=-6, {-5,3}=0.7. На рисунке 6 построены графики функций y=[x] и у={x}. Каковы области определения каждой из функций? Найдите для каждой из них: нули функций; промежутки, в которых y < 0, y > 0; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция сохраняет постоянное значение.

Исследовать функцию:

a) \( y = [x] \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

\( y = 0 \) при \( x \in [0; 1) \);

\( y < 0 \) при \( x \in (-\infty; 0) \);

\( y > 0 \) при \( x \in [1; +\infty) \);

Постоянна на \( [n; n + 1) \).

б) \( y = \{x\} \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

\( y = 0 \) при \( x \in \mathbb{Z} \);

\( y > 0 \) при \( x \in (n; n + 1) \);

Возрастает на \( [n; n + 1) \).

Задание: Исследовать функции.

a) Функция: \( y = [x] \), где \( [x] \) — это целая часть числа \( x \).

Область определения:

Область определения этой функции — все вещественные числа, то есть \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Анализ поведения функции:

Для функции \( y = [x] \) целая часть числа \( x \) принимает целые значения, которые зависят от промежутка, в котором находится \( x \).

При \( x \in [0; 1) \): целая часть числа \( x \) равна 0, поэтому \( y = 0 \);

При \( x \in (-\infty; 0) \): целая часть числа \( x \) будет отрицательной, следовательно, \( y < 0 \);

При \( x \in [1; +\infty) \): целая часть числа \( x \) будет положительной, следовательно, \( y > 0 \);

Постоянность функции:

Функция \( y = [x] \) постоянна на каждом отрезке вида \( [n; n+1) \), где \( n \) — целое число, так как на этом интервале целая часть числа \( x \) остаётся равной \( n \).

Ответ: Функция \( y = [x] \) постоянна на \( [n; n+1) \), убывает на \( (-\infty; 0) \), равна 0 на \( [0; 1) \) и больше 0 на \( [1; +\infty) \).

b) Функция: \( y = \{x\} \), где \( \{x\} \) — это дробная часть числа \( x \).

Область определения:

Область определения этой функции также все вещественные числа, то есть \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Анализ поведения функции:

Для функции \( y = \{x\} \) дробная часть числа \( x \) всегда принимает значения на отрезке \( [0; 1) \), и её поведение зависит от \( x \). Рассмотрим её свойства на различных промежутках:

При \( x \in \mathbb{Z} \): дробная часть числа \( x \) равна 0, следовательно, \( y = 0 \);

При \( x \in (n; n+1) \), где \( n \) — целое число: дробная часть \( x \) положительна и принимает значения от 0 до 1, следовательно, \( y > 0 \);

Монотонность функции:

Функция \( y = \{x\} \) возрастает на каждом интервале \( [n; n+1) \), так как дробная часть числа \( x \) увеличивается от 0 до 1, но не включает 1.

Ответ: Функция \( y = \{x\} \) возрастает на интервале \( [n; n+1) \), равна 0 при \( x \in \mathbb{Z} \), и больше 0 при \( x \in (n; n+1) \).