ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 109 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

График функции y=x^2+px+q проходит через точки A и B. Найдите р и q, если:

а) A(-3; 7) и B(1; 5); б) A(5; 2) и B(-2; 3).

Даны точки параболы:
\[ y = x^2 + px + q, \, A, \, B; \]

а)
\[ A(-3; 7), \, B(1; 5); \]

\[ y(-3) = 9 — 3p + q = 7; \]

\[ y(1) = 1 + p + q = 5; \]

\[ q = 3p — 2; \]

\[ p — 4 + 3p — 2 = 0; \]

\[ 4p = 6, \, p = 1,5; \]

\[ q = 4,5 — 2 = 2,5; \]

Ответ: \( p = 1,5; \, q = 2,5. \)

б)
\[ A(5; 2), \, B(-2; 3); \]

\[ y(5) = 25 + 5p + q = 2; \]

\[ y(-2) = 4 — 2p + q = 3; \]

\[ q = 2p — 1; \]

\[ 23 + 5p + 2p — 1 = 0; \]

\[ 7p = -22, \, p = -3\frac{1}{7}; \]

\[ q = -\frac{6}{7} — 1 = -\frac{13}{7}; \]

Ответ: \( p = -3\frac{1}{7}, \, q = -7 \frac{2}{7}. \)

Задана парабола:

\[
y = x^2 + px + q
\]
где \( p \) и \( q \) — это параметры, которые мы должны найти на основе данных точек параболы.

а) Точки параболы \( A(-3; 7) \) и \( B(1; 5) \):

Шаг 1: Подставляем значения для точки \( A(-3; 7) \):

Подставим \( x = -3 \) и \( y = 7 \) в уравнение параболы \( y = x^2 + px + q \), чтобы получить первое уравнение для \( p \) и \( q \):

\[
y(-3) = (-3)^2 + (-3)p + q = 7
\]

\[
9 — 3p + q = 7
\]

\[
-3p + q = 7 — 9
\]

\[
-3p + q = -2 \quad \Rightarrow \quad q = 3p — 2
\]

Таким образом, получаем выражение для \( q \):

\[
q = 3p — 2
\]

Шаг 2: Подставляем значения для точки \( B(1; 5) \):

Теперь подставим \( x = 1 \) и \( y = 5 \) в уравнение параболы \( y = x^2 + px + q \), чтобы получить второе уравнение для \( p \) и \( q \):

\[
y(1) = (1)^2 + (1)p + q = 5
\]

\[
1 + p + q = 5
\]

\[
p + q = 5 — 1
\]

\[
p + q = 4 \quad \Rightarrow \quad q = 4 — p
\]

Таким образом, получаем второе выражение для \( q \):

\[
q = 4 — p
\]

Шаг 3: Составляем систему уравнений для \( p \) и \( q \):

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• \( q = 3p — 2 \)
• \( q = 4 — p \)

Приравниваем два выражения для \( q \):

\[
3p — 2 = 4 — p
\]

Решаем это уравнение:

\[
3p + p = 4 + 2 \quad \Rightarrow \quad 4p = 6
\]

\[
p = \frac{6}{4} = 1.5
\]

Шаг 4: Находим \( q \):

Теперь подставляем найденное значение \( p = 1.5 \) в одно из выражений для \( q \) (например, \( q = 4 — p \)):

\[
q = 4 — 1.5 = 2.5
\]

Ответ: \( p = 1.5 \), \( q = 2.5 \).

Задана парабола:

\[
y = x^2 + px + q
\]
где \( p \) и \( q \) — параметры, которые нужно найти на основе точек \( A(5; 2) \) и \( B(-2; 3) \).

б) Точки параболы \( A(5; 2) \) и \( B(-2; 3) \):

Шаг 1: Подставляем значения для точки \( A(5; 2) \):

Подставим \( x = 5 \) и \( y = 2 \) в уравнение параболы \( y = x^2 + px + q \):

\[
y(5) = 5^2 + 5p + q = 2
\]

\[
25 + 5p + q = 2
\]

\[
5p + q = 2 — 25
\]

\[
5p + q = -23 \quad \Rightarrow \quad q = -23 — 5p
\]

Шаг 2: Подставляем значения для точки \( B(-2; 3) \):

Теперь подставим \( x = -2 \) и \( y = 3 \) в уравнение параболы \( y = x^2 + px + q \):

\[
y(-2) = (-2)^2 + (-2)p + q = 3
\]

\[
4 — 2p + q = 3
\]

\[
-2p + q = 3 — 4
\]

\[
-2p + q = -1 \quad \Rightarrow \quad q = 2p — 1
\]

Шаг 3: Составляем систему уравнений для \( p \) и \( q \):

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• \( q = -23 — 5p \)
• \( q = 2p — 1 \)

Приравниваем два выражения для \( q \):

\[
-23 — 5p = 2p — 1
\]

Решаем это уравнение:

\[
-23 + 1 = 2p + 5p \quad \Rightarrow \quad -22 = 7p
\]

\[
p = \frac{-22}{7} = -3 \frac{1}{7}
\]

Шаг 4: Находим \( q \):

Теперь подставляем \( p = -3 \frac{1}{7} \) в одно из выражений для \( q \) (например, \( q = 2p — 1 \)):

\[
q = 2 \cdot \left( -3 \frac{1}{7} \right) — 1 = -6 \frac{2}{7} — 1 = -7 \frac{2}{7}
\]

Ответ: \( p = -3 \frac{1}{7} \), \( q = -7 \frac{2}{7} \).