ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 106 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) y=(x-1)(x-5); б) y=(x+2)(x-4).

Найдите промежутки, в которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Построить график функции:

a) \( y = (x — 1)(x — 5); \)

Нули функции:
\[
(x — 1)(x — 5) = 0;
\]

\[
x_1 = 1, \quad x_2 = 5;
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\]

\[
y_0 = -(3 — 1)(3 — 5) = -4;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:

\[
y(0) = -1 \cdot (-5) = 5;
\]

\[
y(6) = y(3 + 3) = 5;
\]

График функции:

Ответ: \( y > 0 \text{ при } x < 1 \text{ и } x > 5; \quad y < 0 \text{ при } 1 < x < 5; \)

б) \( y = (x + 2)(x — 4); \)

Нули функции:
\[
(x + 2)(x — 4) = 0;
\]

\[
x_1 = -2, \quad x_2 = 4;
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\]

\[
y_0 = -\left( \frac{-2 + 4}{2} \right)^2 = -9;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 2 \cdot (-4) = -8;
\]

\[
y(2) = y(1 + 1) = -8;
\]

График функции:

Ответ: \( y > 0 \text{ при } x < -2 \text{ и } x > 4; \quad y < 0 \text{ при } -2 < x < 4; \)

Задана парабола:

а) \( y = (x — 1)(x — 5) \):

1. Нули функции:

Для нахождения нулей функции, мы решаем уравнение \( (x — 1)(x — 5) = 0 \). Корни данного уравнения находятся по следующему принципу:

\[
x_1 = 1, \quad x_2 = 5
\]

Это точки пересечения параболы с осью абсцисс.

2. Координаты вершины:

Для нахождения координат вершины параболы, используем свойства её симметрии. Вершина параболы всегда находится посередине между её корнями. Следовательно, абсцисса вершины \( x_0 \) вычисляется как среднее значение между корнями:

\[
x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3
\]

Теперь находим ординату вершины \( y_0 \). Для этого подставляем \( x_0 = 3 \) в уравнение функции:

\[
y_0 = -\left( 3 — 1 \right)(3 — 5) = -4
\]

Таким образом, координаты вершины параболы: \( (3; -4) \).

3. Значение функции при \( x = 0 \):

Теперь вычислим значение функции при \( x = 0 \):

\[
y(0) = (0 — 1)(0 — 5) = (-1)(-5) = 5
\]

4. Значение функции при \( x = 6 \):

Также можем посчитать значение функции при \( x = 6 \):

\[
y(6) = (6 — 1)(6 — 5) = (5)(1) = 5
\]

5. Свойства функции:

Нули функции: \( x = 1 \) и \( x = 5 \).

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (а = 1).

Функция принимает положительные значения, когда \( x < 1 \) и \( x > 5 \), и отрицательные значения, когда \( 1 < x < 5 \).

Функция убывает на интервале \( (-\infty; 3] \) и возрастает на интервале \( [3; +\infty) \).

Минимальное значение функции: \( y_{\text{min}} = -4 \) при \( x = 3 \).

Ответ: Вершина параболы: \( (3; -4) \), ось симметрии: \( x = 3 \).

б) \( y = (x + 2)(x — 4) \):

1. Нули функции:

Для нахождения нулей функции, решаем уравнение \( (x + 2)(x — 4) = 0 \). Корни данного уравнения:

\[
x_1 = -2, \quad x_2 = 4
\]

Это точки пересечения параболы с осью абсцисс.

2. Координаты вершины:

Для нахождения координат вершины, находим абсциссу вершины \( x_0 \), которая равна среднему значению между корнями:

\[
x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\]

Теперь находим ординату вершины \( y_0 \), подставив \( x_0 = 1 \) в уравнение функции:

\[
y_0 = -\left( \frac{-2 + 4}{2} \right)^2 = -9
\]

Таким образом, координаты вершины параболы: \( (1; -9) \).

3. Значение функции при \( x = 0 \):

Вычислим значение функции при \( x = 0 \):

\[
y(0) = (0 + 2)(0 — 4) = 2 \cdot (-4) = -8
\]

4. Значение функции при \( x = 2 \):

Также вычислим значение функции при \( x = 2 \):

\[
y(2) = (2 + 2)(2 — 4) = 4 \cdot (-2) = -8
\]

5. Свойства функции:

Нули функции: \( x = -2 \) и \( x = 4 \).

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (а = 1).

Функция принимает положительные значения, когда \( x < -2 \) и \( x > 4 \), и отрицательные значения, когда \( -2 < x < 4 \).

Функция убывает на интервале \( (-\infty; 1] \) и возрастает на интервале \( [1; +\infty) \).

Минимальное значение функции: \( y_{\text{min}} = -9 \) при \( x = 1 \).

Ответ: Вершина параболы: \( (1; -9) \), ось симметрии: \( x = 1 \).