ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 104 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Зная, что (m; n) — координаты вершины параболы y=ax^2+bx+c, а x_1 и x_2 — нули функции у, докажите, что верны формулы:

а) x_1=m-v(-n/a), x_2=m+v(-n/a); б) m=(x_1+x_2)/2, n=-a(x_1-x_2)/2.

Дана парабола:
\[ y = ax^2 + bx + c; \quad x_0 = m, \; y_0 = n; \]

а)
\[ x_1 = m — \sqrt{-\frac{n}{a}}, \quad x_2 = m + \sqrt{-\frac{n}{a}}; \]

\[ n = -\frac{b^2 — 4ac}{4a}, \quad m = -\frac{b}{2a}; \]

\[ x_1 = -\frac{b}{2a} — \sqrt{\frac{D}{4a^2}} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}; \]

\[ x_2 = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{D}{4a^2}} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}; \]

Что и требовалось доказать.

б)
\[ m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad n = -a \left(\frac{x_1 — x_2}{2}\right)^2; \]

\[ x_1 + x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -\frac{b}{a}; \]

\[ x_1 — x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} — \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -\frac{\sqrt{D}}{a}; \]

\[ m = \frac{-\frac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a}; \]

\[ n = -a \left(\frac{\sqrt{D}}{2a}\right)^2 = -\frac{D}{4a}; \]

Что и требовалось доказать.

Дана парабола:

\[
y = ax^2 + bx + c; \quad x_0 = m, \; y_0 = n;
\]

а) Нахождение корней:

Корни функции \( x_1 \) и \( x_2 \) можно выразить через координаты вершины параболы. Вершина параболы имеет координаты \( m \) и \( n \), где:

\[
x_1 = m — \sqrt{-\frac{n}{a}}, \quad x_2 = m + \sqrt{-\frac{n}{a}}.
\]

Используем формулы для координат вершины параболы:

\[
n = -\frac{b^2 — 4ac}{4a}, \quad m = -\frac{b}{2a}.
\]

Теперь подставим значения для \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[
x_1 = -\frac{b}{2a} — \sqrt{\frac{D}{4a^2}} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{D}{4a^2}} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.
\]

Что и требовалось доказать.

б) Выражение для координат вершины через корни:

Для нахождения координат вершины через корни используем следующие выражения:

\[
m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad n = -a \left(\frac{x_1 — x_2}{2}\right)^2.
\]

Теперь, найдем сумму и разность корней \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -\frac{b}{a}, \quad x_1 — x_2 =\]

\[\frac{-b — \sqrt{D}}{2a} — \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -\frac{\sqrt{D}}{a}.
\]

Теперь подставим эти значения в формулы для \( m \) и \( n \):

\[
m = \frac{-\frac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a}, \quad n = -a \left(\frac{\sqrt{D}}{2a}\right)^2 = -\frac{D}{4a}.
\]

Что и требовалось доказать.