ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 101 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите схематически график функции:

а) y=3x^2-2x+1; в) y=0,1x^2-5x-8;

б) y=-5x^2+6x+7; г) y=-0,2x^2+6x+1.

Изобразить график функции:

a) \( y = 3x^2 — 2x + 1; \)

Нули функции:
\[
3x^2 — 2x + 1 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8;
\]

\[
D < 0, \quad \text{значит} \quad x \notin \mathbb{R};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};
\]

\[
y_0 = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} — \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3};
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 + 0 + 1 = 1;
\]

График функции:

б) \( y = -5x^2 + 6x + 7; \)

Нули функции:
\[
-5x^2 + 6x + 7 = 0;
\]

\[
5x^2 — 6x — 7 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 36 + 140 = 176, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{176}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{16} \cdot 11}{2 \cdot 5} = 3 \pm \frac{2\sqrt{11}}{5};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{5};
\]

\[
y_0 = \frac{-9}{5} + 7 = \frac{4}{5};
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = -5 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 7 = 7;
\]
График функции:

в) \( y = 0.1x^2 — 5x — 8; \)

Нули функции:
\[
0.1x^2 — 5x — 8 = 0;
\]

\[
x^2 — 50x — 80 = 0;
\]

\[
D = 50^2 + 4 \cdot 1 \cdot 80 = 2500 + 320 = 2820, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{2820}}{2} = 25 \pm \sqrt{705};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-50}{2 \cdot 0.1} = 25;
\]

\[
y_0 = 62.5 — 125 — 8 = -70.5;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 — 0 — 8 = -8;
\]

График функции:

г) \( y = -0.2x^2 + 6x + 1; \)

Нули функции:
\[
-0.2x^2 + 6x + 1 = 0;
\]

\[
x^2 — 30x — 5 = 0;
\]

\[
D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 900 + 20 = 920, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{920}}{2} = 15 \pm \sqrt{230};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{6}{2 \cdot (-0.2)} = 15;
\]

\[
y_0 = -45 + 90 + 1 = 46;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 + 1 = 1;
\]

График функции:

а) \( y = 3x^2 — 2x + 1 \):

1. Нули функции:

Уравнение: \( 3x^2 — 2x + 1 = 0 \).
Дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8 \).
Поскольку \( D < 0 \), у функции нет действительных корней, то есть \( x \notin \mathbb{R} \).

2. Координаты вершины:

Абсцисса вершины: \( x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Ордината вершины: \( y_0 = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} — \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \).

3. Значение при \( x = 0 \):

\( y(0) = 0 + 0 + 1 = 1 \).

4. Свойства функции:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Функция не имеет действительных корней.

Функция возрастает на \( [\frac{1}{3}; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; \frac{1}{3}] \).

Минимальное значение: \( y_{\text{min}} = \frac{1}{3} \) при \( x = \frac{1}{3} \).

Область значений: \( E(y) = [\frac{1}{3}; +\infty) \).

Ответ: Вершина параболы: \( \left( \frac{1}{3}; \frac{1}{3} \right) \), ось симметрии: \( x = \frac{1}{3} \).

б) \( y = -5x^2 + 6x + 7 \):

1. Нули функции:

Уравнение: \( -5x^2 + 6x + 7 = 0 \).
Преобразуем: \( 5x^2 — 6x — 7 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 36 + 140 = 176 \).
Корни: \( x = 3 \pm \frac{2\sqrt{11}}{5} \).

2. Координаты вершины:

Абсцисса вершины: \( x_0 = \frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{5} \).

Ордината вершины: \( y_0 = \frac{-9}{5} + 7 = \frac{4}{5} \).

3. Значение при \( x = 0 \):

\( y(0) = -5 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 7 = 7 \).

4. Свойства функции:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: \( x = -2 — \sqrt{2} \) и \( x = -2 + \sqrt{2} \).

\( y < 0 \) при \( x < -2 — \sqrt{2} \) и \( x > -2 + \sqrt{2} \).

\( y > 0 \) при \( -2 — \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2} \).

Функция убывает на \( (-\infty; -2] \), возрастает на \( [-2; +\infty) \).

Максимальное значение: \( y_{\text{max}} = 4 \) при \( x = -2 \).

Область значений: \( E(y) = (-\infty; 4] \).

Ответ: Вершина параболы: \( \left( -\frac{3}{5}; \frac{4}{5} \right) \), ось симметрии: \( x = -\frac{3}{5} \).

в) \( y = 0.1x^2 — 5x — 8 \):

1. Нули функции:

Уравнение: \( 0.1x^2 — 5x — 8 = 0 \).
Преобразуем: \( x^2 — 50x — 80 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 50^2 + 4 \cdot 1 \cdot 80 = 2500 + 320 = 2820 \).
Корни: \( x = 25 \pm \sqrt{705} \).

2. Координаты вершины:

Абсцисса вершины: \( x_0 = \frac{-50}{2 \cdot 0.1} = 25 \).

Ордината вершины: \( y_0 = 62.5 — 125 — 8 = -70.5 \).

3. Значение при \( x = 0 \):

\( y(0) = 0 — 0 — 8 = -8 \).

4. Свойства функции:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: \( x = 25 \pm \sqrt{705} \).

\( y < 0 \) при \( x < 25 — \sqrt{705} \) и \( x > 25 + \sqrt{705} \).

\( y > 0 \) при \( 25 — \sqrt{705} < x < 25 + \sqrt{705} \).

Функция убывает на \( (-\infty; 25] \), возрастает на \( [25; +\infty) \).

Максимальное значение: \( y_{\text{max}} = -70.5 \) при \( x = 25 \).

Область значений: \( E(y) = (-\infty; -70.5] \).

Ответ: Вершина параболы: \( (25; -70.5) \), ось симметрии: \( x = 25 \).