ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 101 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите схематически график функции:

а) y=3x^2-2x+1; в) y=0,1x^2-5x-8;

б) y=-5x^2+6x+7; г) y=-0,2x^2+6x+1.

Изобразить график функции:

a) \( y = 3x^2 — 2x + 1; \)

Нули функции:
\[
3x^2 — 2x + 1 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8;
\]

\[
D < 0, \quad \text{значит} \quad x \notin \mathbb{R};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};
\]

\[
y_0 = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} — \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3};
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 + 0 + 1 = 1;
\]

График функции:

б) \( y = -5x^2 + 6x + 7; \)

Нули функции:
\[
-5x^2 + 6x + 7 = 0;
\]

\[
5x^2 — 6x — 7 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 36 + 140 = 176, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{176}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{16} \cdot 11}{2 \cdot 5} = 3 \pm \frac{2\sqrt{11}}{5};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{5};
\]

\[
y_0 = \frac{-9}{5} + 7 = \frac{4}{5};
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = -5 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 7 = 7;
\]
График функции:

в) \( y = 0.1x^2 — 5x — 8; \)

Нули функции:
\[
0.1x^2 — 5x — 8 = 0;
\]

\[
x^2 — 50x — 80 = 0;
\]

\[
D = 50^2 + 4 \cdot 1 \cdot 80 = 2500 + 320 = 2820, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{2820}}{2} = 25 \pm \sqrt{705};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-50}{2 \cdot 0.1} = 25;
\]

\[
y_0 = 62.5 — 125 — 8 = -70.5;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 — 0 — 8 = -8;
\]

График функции:

г) \( y = -0.2x^2 + 6x + 1; \)

Нули функции:
\[
-0.2x^2 + 6x + 1 = 0;
\]

\[
x^2 — 30x — 5 = 0;
\]

\[
D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 900 + 20 = 920, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{920}}{2} = 15 \pm \sqrt{230};
\]

Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{6}{2 \cdot (-0.2)} = 15;
\]

\[
y_0 = -45 + 90 + 1 = 46;
\]

Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 + 1 = 1;
\]

График функции:

а) \( y = 3x^2 — 2x + 1 \)

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

\[
3x^2 — 2x + 1 = 0;
\]

Дискриминант вычисляется по формуле: \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \). Подставим значения:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8;
\]

Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), то уравнение не имеет действительных корней, следовательно, функция не пересекает ось \( x \), и \( x \notin \mathbb{R} \).

Теперь найдем координаты вершины параболы. Формула для абсциссы вершины параболы: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). Подставим значения \( b = -2 \) и \( a = 3 \):

\[
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};
\]

Теперь вычислим ординату вершины \( y_0 \), подставив значение \( x_0 = \frac{1}{3} \) в исходное уравнение:

\[
y_0 = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} — \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3};
\]

Если \( x = 0 \), то подставляем в уравнение \( x = 0 \):

\[
y(0) = 3 \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 + 1 = 1;
\]

Итак, у нас есть информация о функции:

Вершина параболы: \( \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) \);

Функция не имеет действительных корней.

б) \( y = -5x^2 + 6x + 7 \)

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

\[
-5x^2 + 6x + 7 = 0;
\]

Умножим обе стороны на -1, чтобы упростить вычисления:

\[
5x^2 — 6x — 7 = 0;
\]

Теперь вычислим дискриминант:

\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 36 + 140 = 176;
\]

Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 5 \), \( b = -6 \), \( D = 176 \). Подставим значения:

\[
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{176}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{176}}{10} = \frac{6 \pm 4.1833}{10};
\]

Таким образом, получаем два корня:

\[
x_1 = \frac{6 + 4.1833}{10} = \frac{10.1833}{10} = 1.01833;
\]

\[
x_2 = \frac{6 — 4.1833}{10} = \frac{1.8167}{10} = 0.18167;
\]

Координаты вершины параболы рассчитываются по формуле: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). Подставим \( b = 6 \) и \( a = -5 \):

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{6}{-10} = \frac{3}{5};
\]

Теперь найдем ординату вершины, подставив \( x_0 = \frac{3}{5} \) в исходное уравнение:

\[
y_0 = -5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^2 + 6 \cdot \frac{3}{5} + 7 = -5 \cdot \frac{9}{25} + \frac{18}{5} + 7 =\]

\[-\frac{45}{25} + \frac{90}{25} + \frac{175}{25} = \frac{220}{25} = 8.8;
\]

Если \( x = 0 \), то:

\[
y(0) = -5 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 7 = 7;
\]

Итак, для функции \( y = -5x^2 + 6x + 7 \):

Нули функции: \( x_1 = 1.01833 \), \( x_2 = 0.18167 \);

Вершина параболы: \( \left( \frac{3}{5}, 8.8 \right) \);

Значение функции при \( x = 0 \) равно 7.

в) \( y = 0.1x^2 — 5x — 8 \)

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

\[
0.1x^2 — 5x — 8 = 0;
\]

Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[
x^2 — 50x — 80 = 0;
\]

Теперь вычислим дискриминант:

\[
D = (-50)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 2500 + 320 = 2820;
\]

Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -50 \), \( D = 2820 \). Подставим значения:

\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{2820}}{2} = 25 \pm \sqrt{705};
\]

Таким образом, получаем два корня:

\[
x_1 = 25 + \sqrt{705} \approx 25 + 26.57 = 51.57;
\]

\[
x_2 = 25 — \sqrt{705} \approx 25 — 26.57 = -1.57;
\]

Координаты вершины параболы рассчитываются по формуле: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). Подставим \( b = -50 \) и \( a = 0.1 \):

\[
x_0 = \frac{-(-50)}{2 \cdot 0.1} = \frac{50}{0.2} = 250;
\]

Теперь найдем ординату вершины, подставив \( x_0 = 250 \) в исходное уравнение:

\[
y_0 = 0.1 \cdot 250^2 — 5 \cdot 250 — 8 =\]

\[0.1 \cdot 62500 — 1250 — 8 = 6250 — 1250 — 8 = 4992;
\]

Если \( x = 0 \), то:

\[
y(0) = 0.1 \cdot 0^2 — 5 \cdot 0 — 8 = -8;
\]

Итак, для функции \( y = 0.1x^2 — 5x — 8 \):

Нули функции: \( x_1 \approx 51.57 \), \( x_2 \approx -1.57 \);

Вершина параболы: \( (250, 4992) \);

Значение функции при \( x = 0 \) равно -8.

г) \( y = -0.2x^2 + 6x + 1 \)

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

\[
-0.2x^2 + 6x + 1 = 0;
\]

Умножим обе стороны на -5, чтобы избавиться от дробей:

\[
x^2 — 30x — 5 = 0;
\]

Теперь вычислим дискриминант:

\[
D = (-30)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 900 + 20 = 920;
\]

Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -30 \), \( D = 920 \). Подставим значения:

\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{920}}{2} = 15 \pm \sqrt{230};
\]

Таким образом, получаем два корня:

\[
x_1 = 15 + \sqrt{230} \approx 15 + 15.17 = 30.17;
\]

\[
x_2 = 15 — \sqrt{230} \approx 15 — 15.17 = -0.17;
\]

Координаты вершины параболы рассчитываются по формуле: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). Подставим \( b = 6 \) и \( a = -0.2 \):

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot (-0.2)} = \frac{6}{0.4} = 15;
\]

Теперь найдем ординату вершины, подставив \( x_0 = 15 \) в исходное уравнение:

\[
y_0 = -0.2 \cdot 15^2 + 6 \cdot 15 + 1 =\]

\[-0.2 \cdot 225 + 90 + 1 = -45 + 90 + 1 = 46;
\]

Если \( x = 0 \), то:

\[
y(0) = -0.2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 1 = 1;
\]

Итак, для функции \( y = -0.2x^2 + 6x + 1 \):

Нули функции: \( x_1 \approx 30.17 \), \( x_2 \approx -0.17 \);

Вершина параболы: \( (15, 46) \);

Значение функции при \( x = 0 \) равно 1.