ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 100 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если:

а) y=0,25x^2-1,5x-1,75; б) y=-0,5x^2-2x+2.

Построить график функции:

a) \( y = 0.25x^2 — 1.5x — 1.75; \)

Нули функции:
\[
0.25x^2 — 1.5x — 1.75 = 0;
\]

\[
x^2 — 6x — 7 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7;
\]
Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-(-1.5)}{2 \cdot 0.25} = 3;
\]

\[
y_0 = 2.25 — 4.5 — 1.75 = -4;
\]
Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = 0 — 1.75 = -1.75;
\]
График функции:

Свойства функции:
\[
D(x) = (-\infty; +\infty);
\]

\[
y = 0 \text{ при } x = -1 \text{ и } x = 7;
\]

\[
y > 0 \text{ при } x < -1 \text{ и } x > 7;
\]

\[
y < 0 \text{ при } -1 < x < 7;
\]

\[
y \text{ возрастает на } [3; +\infty);
\]

\[
y \text{ убывает на } (-\infty; 3];
\]

\[
y_{\text{min}} = -4 \text{ при } x = 3;
\]

\[
E(y) = [-4; +\infty);
\]

б) \( y = -0.5x^2 — 2x + 2; \)

Нули функции:
\[
-0.5x^2 — 2x + 2 = 0;
\]

\[
x^2 + 4x — 4 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm \sqrt{2};
\]
Координаты вершины:
\[
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-0.5)} = -2;
\]

\[
y_0 = -2 + 4 + 2 = 4;
\]
Если \( x = 0 \), тогда:
\[
y(0) = -0.5 \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 + 2 = 2;
\]
График функции:

Свойства функции:
\[
D(x) = (-\infty; +\infty);
\]

\[
y = 0 \text{ при } x = -2 — \sqrt{2} \text{ и } x = -2 + \sqrt{2};
\]

\[
y < 0 \text{ при } x < -2 — \sqrt{2} \text{ и } x > -2 + \sqrt{2};
\]

\[
y > 0 \text{ при } -2 — \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2};
\]

\[
y \text{ убывает на } (-\infty; -2];
\]

\[
y \text{ возрастает на } [-2; +\infty);
\]

\[
y_{\text{max}} = 4 \text{ при } x = -2;
\]

\[
E(y) = (-\infty; 4];
\]

а) \( y = 0.25x^2 — 1.5x — 1.75 \):

1. Нули функции:

Уравнение: \( 0.25x^2 — 1.5x — 1.75 = 0 \) превращается в \( x^2 — 6x — 7 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 36 + 28 = 64 \).
Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 7 \).

2. Координаты вершины:

Абсцисса вершины: \( x_0 = \frac{-(-1.5)}{2 \cdot 0.25} = 3 \).
Ордината вершины: \( y_0 = 9 — 18 + 8 = -1 \).

3. Значение при \( x = 0 \):

\( y(0) = -1.75 \).

4. Свойства функции:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: \( x = -1, 7 \).

\( y > 0 \) при \( x < -1 \) и \( x > 7 \).

\( y < 0 \) при \( -1 < x < 7 \).

Функция возрастает на \( [3; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 3] \).

Минимальное значение: \( y_{\text{min}} = -4 \) при \( x = 3 \).

Область значений: \( E(y) = [-4; +\infty) \).

Ответ: Вершина: \( (3; -1) \), ось симметрии: \( x = 3 \).

б) \( y = -0.5x^2 — 2x + 2 \):

1. Нули функции:

Уравнение: \( -0.5x^2 — 2x + 2 = 0 \) превращается в \( x^2 + 4x — 4 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 32 \).
Корни: \( x = -2 \pm \sqrt{2} \).

2. Координаты вершины:

Абсцисса вершины: \( x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-0.5)} = -2 \).
Ордината вершины: \( y_0 = -2 + 4 + 2 = 4 \).

3. Значение при \( x = 0 \):

\( y(0) = 2 \).

4. Свойства функции:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: \( x = -2 — \sqrt{2} \) и \( x = -2 + \sqrt{2} \).

\( y < 0 \) при \( x < -2 — \sqrt{2} \) и \( x > -2 + \sqrt{2} \).

\( y > 0 \) при \( -2 — \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2} \).

Функция убывает на \( (-\infty; -2] \), возрастает на \( [-2; +\infty) \).

Максимальное значение: \( y_{\text{max}} = 4 \) при \( x = -2 \).

Область значений: \( E(y) = (-\infty; 4] \).

Ответ: Вершина: \( (4; 6) \), ось симметрии: \( x = 4 \).