ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 487 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях x двучлен:

а) x^2-9 принимает отрицательные значения;

б) 2-x^2 принимает положительные значения?

Решить неравенство:

a)
\[
x^2 — 9 < 0;
\]

\[
(x + 3)(x — 3) < 0;
\]

\[
-3 < x < 3;
\]

Ответ: \((-3; 3)\).

б)
\[
2 — x^2 > 0;
\]

\[
x^2 — 2 < 0;
\]

\[
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) < 0;
\]

\[
-\sqrt{2} < x < \sqrt{2};
\]

Ответ: \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\).

Решить неравенство:

а) \( x^2 — 9 < 0; \)

1. Перепишем неравенство:

\[
x^2 — 9 < 0;
\]

2. Преобразуем его в вид, который легче решить, разложив на множители:

\[
(x + 3)(x — 3) < 0;
\]

3. Теперь используем метод знаков для решения неравенства. Для этого на числовой оси помечаем корни \( x = -3 \) и \( x = 3 \), которые делят ось на три интервала: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 3) \), и \( (3; +\infty) \).

4. Проверим знак на каждом интервале:

На интервале \( (-\infty; -3) \), выбираем точку \( x = -4 \). Подставляем в неравенство: \( (x + 3)(x — 3) = (-4 + 3)(-4 — 3) = (-1)(-7) = 7 > 0 \).

На интервале \( (-3; 3) \), выбираем точку \( x = 0 \). Подставляем в неравенство: \( (0 + 3)(0 — 3) = (3)(-3) = -9 < 0 \).

На интервале \( (3; +\infty) \), выбираем точку \( x = 4 \). Подставляем в неравенство: \( (4 + 3)(4 — 3) = (7)(1) = 7 > 0 \).

5. Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( (-3; 3) \).

Ответ: \( (-3; 3) \).

б) \( 2 — x^2 > 0; \)

1. Перепишем неравенство:

\[
2 — x^2 > 0;
\]

2. Переносим все элементы на одну сторону:

\[
x^2 — 2 < 0;
\]

3. Разлагаем на множители:

\[
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) < 0;
\]

4. Аналогично решаем с помощью метода знаков. На числовой оси помечаем корни \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \), которые делят ось на три интервала: \( (-\infty; -\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \), и \( (\sqrt{2}; +\infty) \).

5. Проверим знак на каждом интервале:

На интервале \( (-\infty; -\sqrt{2}) \), выбираем точку \( x = -2 \). Подставляем в неравенство: \( (-2 + \sqrt{2})(-2 — \sqrt{2}) = (-2 + \sqrt{2})(-2 — \sqrt{2}) > 0 \).

На интервале \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \), выбираем точку \( x = 0 \). Подставляем в неравенство: \( (0 + \sqrt{2})(0 — \sqrt{2}) = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -2 < 0 \).

На интервале \( (\sqrt{2}; +\infty) \), выбираем точку \( x = 2 \). Подставляем в неравенство: \( (2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2}) > 0 \).

6. Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \).

Ответ: \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \).