ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 998 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой положителен, b1* b2 = а b3 * b4 = 3.Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Геометрическая прогрессия:
\(b_1b_2 = \frac{1}{27}, \, b_3b_4 = 3, \, q > 0;\)

1) Первое равенство:
\(b_1 \cdot b_1q = \frac{1}{27}, \, b_1^2 = \frac{1}{27q};\)

2) Второе равенство:
\(b_1q^2 \cdot b_1q^3 = 3, \, b_1^2q^5 = 3;\)

\[\frac{q^5}{27q} = 3, \, q^4 = 81, \, q = 3;\]

\[b_1^2 = \frac{1}{81}, \, b_1 = \frac{1}{9};\]

3) Сумма четырех членов:
\[S_4 = \frac{b_1(q^4 — 1)}{q — 1} = \frac{\frac{1}{9}(3^4 — 1)}{3 — 1};\]

\[S_4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{80}{2} = \frac{40}{9} = \frac{4}{9};\]

Ответ: \(4 \frac{4}{9}\).

В геометрической прогрессии \( (b_n) \), знаменатель которой положителен, даны условия: \( b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} \) и \( b_3 \cdot b_4 = 3 \). Необходимо найти сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Шаг 1: В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии \( q \). То есть:

\[
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_3 = b_1 \cdot q^2, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3
\]

По условию задачи, \( b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} \), подставляем \( b_2 = b_1 \cdot q \):

\[
b_1 \cdot b_1 q = \frac{1}{27}, \quad b_1^2 q = \frac{1}{27}
\]

Из этого уравнения выразим \( b_1^2 \):

\[
b_1^2 = \frac{1}{27q}
\]

Шаг 2: Используем второе условие \( b_3 \cdot b_4 = 3 \), подставляем выражения для \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) и \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \):

\[
b_1 q^2 \cdot b_1 q^3 = 3, \quad b_1^2 q^5 = 3
\]

Теперь выразим \( b_1^2 \):

\[
b_1^2 = \frac{3}{q^5}
\]

Приравняем два выражения для \( b_1^2 \):

\[
\frac{1}{27q} = \frac{3}{q^5}
\]

Умножим обе части на \( 27q \cdot q^5 \):

\[
q^5 = 81, \quad q = 3
\]

Шаг 3: Теперь, зная \( q = 3 \), подставим это значение в выражение для \( b_1^2 \):

\[
b_1^2 = \frac{1}{81}, \quad b_1 = \frac{1}{9}
\]

Шаг 4: Найдем сумму первых четырёх членов прогрессии. Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1}
\]

Подставляем известные значения \( b_1 = \frac{1}{9} \) и \( q = 3 \):

\[
S_4 = \frac{\frac{1}{9} \cdot (3^4 — 1)}{3 — 1}
\]

Вычисляем \( 3^4 = 81 \), тогда:

\[
S_4 = \frac{\frac{1}{9} \cdot (81 — 1)}{2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 80}{2} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}
\]

Ответ: \( 4 \frac{4}{9} \).