ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 996 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрес сии (bn), если известно, что все члены последовательности по ложительны и b3 = 20, b5 = 80.

Дана прогрессия: \(b_3 = 20, \, b_5 = 80\);

1) Найдем прогрессию:
\(b_3 = b_1q^2, \, b_5 = b_1q^4, \, q > 0\);

\[b_1 = \frac{b_3}{q^2}, \, b_1 = \frac{b_5}{q^4}, \, \frac{20}{q^2} = \frac{80}{q^4}\]

\[q^2 = 4, \, q = 2, \, b_1 = \frac{20}{4} = 5\]

2) Сумма семи членов:

\[S_7 = \frac{b_1(q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{5(2^7 — 1)}{2 — 1};\]

\[S_7 = 5 \cdot (128 — 1) = 635;\]

Ответ: 635.

Заданы переменные:

\(b_3 = 20\), \(b_5 = 80\)

1) Найдем прогрессию:

Используем формулы для \(b_3\) и \(b_5\) в геометрической прогрессии:

\[
b_3 = b_1 \cdot q^2, \quad b_5 = b_1 \cdot q^4, \quad q > 0
\]

Подставляем для \(b_1\) из обоих уравнений:

\[
b_1 = \frac{b_3}{q^2}, \quad b_1 = \frac{b_5}{q^4}, \quad \frac{20}{q^2} = \frac{80}{q^4}
\]

Умножаем обе стороны на \(q^4\):

\[
20q^4 = 80q^2
\]

Делим обе стороны на \(20q^2\):

\[
q^2 = 4, \quad q = 2
\]

Теперь находим \(b_1\):

\[
b_1 = \frac{20}{4} = 5
\]

2) Сумма семи членов:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_7 = \frac{b_1(q^7 — 1)}{q — 1}
\]

Подставляем \(b_1 = 5\) и \(q = 2\):

\[
S_7 = \frac{5(2^7 — 1)}{2 — 1}
\]

Вычисляем \(2^7 = 128\):

\[
S_7 = 5 \cdot (128 — 1) = 5 \cdot 127 = 635
\]

Ответ: \(S_7 = 635\)