ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 991 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Задана прогрессия:
\(a_3 = 150, \, a_{13} = 110;\)

1) Первый член и разность:
\[
a_3 = a_1 + 2d, \, a_{13} = a_1 + 12d;
\]

\(a_1 = a_3 — 2d, \, a_1 = a_{13} — 12d;\)

\(150 — 2d = 110 — 12d;\)

\(10d = -40, \, d = -4;\)

\(a_1 = 150 + 8 = 158;\)

2) Сумма прогрессии:
\[
S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n;
\]

\[
n \cdot (2 \cdot 158 — 4(n — 1)) = 0;
\]

\[
316 — 4n + 4 = 0;
\]

\[
4n = 320, \, n = 80;
\]

Ответ:
\(S_n = 80.\)

Заданы переменные:

\(a_3 = 150\), \(a_{13} = 110\)

1) Найдем первый член и разность прогрессии:

Используем формулы для \(a_3\) и \(a_{13}\):

\[
a_3 = a_1 + 2d, \quad a_{13} = a_1 + 12d
\]

Выразим \(a_1\) через \(d\) из этих уравнений:

\[
a_1 = a_3 — 2d, \quad a_1 = a_{13} — 12d
\]

Теперь подставим значения \(a_3 = 150\) и \(a_{13} = 110\):

\[
150 — 2d = 110 — 12d
\]

Решаем уравнение относительно \(d\):

\[
10d = -40, \quad d = \frac{-40}{10} = -4
\]

Теперь подставим \(d = -4\) в уравнение для \(a_1\):

\[
a_1 = 150 + 8 = 158
\]

2) Сумма прогрессии:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[
S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n
\]

Подставляем \(a_1 = 158\) и \(d = -4\) в формулу для суммы:

\[
n \cdot (2 \cdot 158 — 4(n — 1)) = 0
\]

Раскрываем скобки:

\[
316 — 4n + 4 = 0
\]

Упрощаем уравнение:

\[
320 — 4n = 0
\]

Переносим \(320\) на правую сторону:

\[
4n = 320
\]

Решаем для \(n\):

\[
n = \frac{320}{4} = 80
\]

Ответ: \(S_n = 80\)