ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 981 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты равны \(x\) см и \(y\) см:
\[
\sqrt{x^2 + y^2} = 41, \quad S = \frac{1}{2}xy = 180;
\]

1) Второе уравнение:
\[
xy = 360, \quad y = \frac{360}{x};
\]

2) Первое уравнение:
\[
x^2 + 2xy + y^2 — 2xy = 41^2;
\]

\[(x + y)^2 — 2 \cdot 360 = 1681;\]

\[(x + y)^2 = 2401, \quad x + y = 49;\]

\[x + \frac{360}{x} = 49, \quad x^2 — 49x + 360 = 0;\]

\[D = 49^2 — 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 — 1440 = 961, \text{ тогда:}\]

\[x_1 = \frac{49 — 31}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{49 + 31}{2} = 40;\]

\[y_1 = \frac{360}{9} = 40 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{360}{40} = 9;\]

Ответ: \(9\) и \(40\) см.

Заданы уравнения:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x^2 + y^2} = 41, \\
S = \frac{1}{2}xy = 180
\end{cases}
\]

Решение:

1) Второе уравнение:

Из второго уравнения \( S = \frac{1}{2}xy = 180 \), получаем:

\[
xy = 360
\]

Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[
y = \frac{360}{x}
\]

2) Первое уравнение:

Из первого уравнения \( \sqrt{x^2 + y^2} = 41 \), возведем обе стороны в квадрат:

\[
x^2 + y^2 = 41^2 = 1681
\]

Теперь подставим \( y = \frac{360}{x} \) в это уравнение:

\[
x^2 + \left( \frac{360}{x} \right)^2 = 1681
\]

Умножаем обе стороны на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\[
x^4 + 360^2 = 1681x^2
\]

После преобразования и упрощения мы получаем:

\[
(x + y)^2 — 2 \cdot 360 = 1681
\]

Теперь выразим \( (x + y)^2 \):

\[
(x + y)^2 = 2401
\]

Следовательно, \( x + y = 49 \).

Теперь подставим это в уравнение \( x + \frac{360}{x} = 49 \):

\[
x + \frac{360}{x} = 49
\]

Перемножим на \( x \), чтобы избавиться от дроби:

\[
x^2 — 49x + 360 = 0
\]

3) Находим корни уравнения:

Рассчитаем дискриминант:

\[
D = (-49)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 — 1440 = 961
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{49 — 31}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{49 + 31}{2} = 40
\]

Находим соответствующие значения \( y \):

\[
y_1 = \frac{360}{9} = 40 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{360}{40} = 9
\]

Ответ: \( 9 \) см и \( 40 \) см.