ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 977 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола у = x2 — х + 4 и гипербола у = 1/4. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Решить систему:
\[
\begin{cases}
y = x^2 — x + 4 \\
y = \frac{4}{x}
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[
\frac{4}{x} = x^2 — x + 4 \quad | \cdot x;
\]

\[4 = x^3 — x^2 + 4x;\]

\[x^2(x — 1) + 4(x — 1) = 0;\]

\[(x — 1) \cdot (x^2 + 4) = 0;\]

\[x — 1 = 0, \quad x = 1, \quad y = 4;\]

2) Графики функций:

Ответ: (1; 4).

Заданы уравнения:

\[
\begin{cases}
y = x^2 — x + 4, \\
y = \frac{4}{x}
\end{cases}
\]

Решение:

1) Первое уравнение:

Из второго уравнения: \( y = \frac{4}{x} \), подставляем это в первое уравнение \( y = x^2 — x + 4 \):

\[
\frac{4}{x} = x^2 — x + 4
\]

Умножаем обе стороны на \( x \), чтобы избавиться от дроби:

\[
4 = x^3 — x^2 + 4x
\]

Приводим уравнение к стандартному виду:

\[
x^3 — x^2 + 4x — 4 = 0
\]

Теперь вынесем общий множитель:

\[
x^2(x — 1) + 4(x — 1) = 0
\]

Вынесли общий множитель \( (x — 1) \):

\[
(x — 1) \cdot (x^2 + 4) = 0
\]

Так как \( x^2 + 4 = 0 \) не имеет действительных корней, оставляем \( x — 1 = 0 \). Таким образом, \( x = 1 \).

Теперь подставим \( x = 1 \) в одно из уравнений, например в \( y = \frac{4}{x} \), чтобы найти \( y \):

\[
y = \frac{4}{1} = 4
\]

Ответ: \( (1; 4) \)

2) Графики функций:

Пересечение графиков этих функций будет в точке \( (1; 4) \), так как эта точка удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: \( (1; 4) \)