ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 975 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
y = x^2 — 6x + 8 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]
Второе уравнение:
\[ x + y = 4, \quad y = 4 — x; \]
Первое уравнение:
\[ 4 — x = x^2 — 6x + 8; \quad x^2 — 5x + 4 = 0; \]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\]

\[
y_1 = 4 — 1 = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = 4 — 4 = 0.
\]

Ответ: \((1; 3);\ (4; 0).\)

б)
\[
\begin{cases}
x + y = 4 \\
y = \frac{3}{x}
\end{cases}
\]
Первое уравнение:
\[
x + \frac{3}{x} = 4, \quad x^2 — 4x + 3 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

\[
y_1 = \frac{3}{1} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3}{3} = 1.
\]

Ответ: \((1; 3);\ (3; 1).\)

в)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
(x — 3)^2 + y^2 = 1
\end{cases}
\]
Первое уравнение:
\[
x^2 + y^2 = 4, \quad y^2 = 4 — x^2;
\]
Второе уравнение:
\[
(x — 3)^2 + 4 — x^2 = 1; \quad x^2 — 6x + 9 + 4 — x^2 = 0; \quad 6x = 12, \quad x = 2;
\]

\[
y^2 = 0, \quad y = 0.
\]

Ответ: \((2; 0).\)

г)
\[
\begin{cases}
(x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 4 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]
Второе уравнение:
\[
x + 2y = 3, \quad x = 3 — 2y;
\]
Первое уравнение:
\[
(3 — 2y — 1)^2 + (y — 2)^2 = 4; \quad (2 — 2y)^2 + (y — 2)^2 = 4;
\]

\[
4 — 8y + 4y^2 + y^2 — 4y + 4 = 4; \quad 5y^2 — 12y + 4 = 0;
\]

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 — 80 = 64, \text{ тогда: }
\]

\[
y_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 5} = 0,4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 5} = 2;
\]

\[
x_1 = 3 — 2 \cdot 0,4 = 2,2 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 — 2 \cdot 2 = -1.
\]

Ответ: \((2,2; 0,4);\ (-1; 2).\)

a) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x^2 — 6x + 8, \\
x + y = 4
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения: \( x + y = 4 \), следовательно \( y = 4 — x \).

2. Подставляем \( y = 4 — x \) в первое уравнение:

\[
4 — x = x^2 — 6x + 8
\]

Приводим к виду:

\[
x^2 — 5x + 4 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\]

5. Находим \( y \):

\[
y_1 = 4 — 1 = 3, \quad y_2 = 4 — 4 = 0
\]

Ответ: \((1; 3), (4; 0)\)

b) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 4, \\
y = \frac{3}{x}
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения: \( x + y = 4 \), следовательно \( y = 4 — x \).

2. Подставляем \( y = 4 — x \) во второе уравнение:

\[
x + \frac{3}{x} = 4, \quad x^2 — 4x + 3 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3
\]

5. Находим \( y \):

\[
y_1 = \frac{3}{1} = 3, \quad y_2 = \frac{3}{3} = 1
\]

Ответ: \((1; 3), (3; 1)\)

в) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 34, \\
xy = 15
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения: \( xy = 15, \quad y = \frac{15}{x} \).

2. Подставляем \( y = \frac{15}{x} \) в первое уравнение:

\[
x^2 + \frac{225}{x^2} = 34, \quad x^4 — 34x^2 + 225 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 34^2 — 4 \cdot 1 \cdot 225 = 1156 — 900 = 256
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1^2 = \frac{34 — 16}{2} = 9, \quad x_2^2 = \frac{34 + 16}{2} = 25
\]

5. Находим \( x \):

\[
x_1 = \pm 3, \quad x_2 = \pm 5
\]

Находим \( y \):

\[
y_1 = \frac{15}{3} = 5, \quad y_2 = \frac{15}{5} = 3
\]

Ответ: \((-3; -5), (3; 5), (-5; -3), (5; 3)\)

г) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 12, \\
xy = 8
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения: \( xy = 8, \quad y = \frac{8}{x} \).

2. Подставляем \( y = \frac{8}{x} \) в первое уравнение:

\[
x^2 — \frac{64}{x^2} = 12, \quad x^4 — 12x^2 — 64 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 12^2 + 4 \cdot 64 = 144 + 256 = 400
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1^2 = \frac{12 — (-20)}{2} = 16, \quad x_2^2 = \frac{12 + 20}{2} = 16
\]

5. Находим \( x \):

\[
x = \pm 4
\]

Находим \( y \):

\[
y = \frac{8}{\pm 4} = \pm 2
\]

Ответ: \((-4; -2), (4; 2)\)