ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 973 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[
\begin{cases}
x^2 + y + 8 = xy, \\
y — 2x = 0
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \( y — 2x = 0 \), следовательно \( y = 2x \).
2. Подставляем \( y = 2x \) в первое уравнение:
\[
x^2 + 2x + 8 = 2x^2.
\]

Приводим к виду:
\[
x^2 — 2x — 8 = 0.
\]

3. Дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\]

4. Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\]

5. Находим \( y \):
\[
y_1 = -2 \cdot 2 = -4, \quad y_2 = 4 \cdot 2 = 8.
\]

Ответ: \((-2; -4)\), \((4; 8)\).

б)
\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 16, \\
x + y = 8
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \( y = 8 — x \).
2. Подставляем \( y = 8 — x \) в первое уравнение:
\[
(x — y)(x + y) = 16.
\]

Подставляем \( x + y = 8 \):
\[
8(x — 8 + x) = 16.
\]

Решаем:
\[
2x — 8 = 2, \quad x = 5.
\]

3. Находим \( y \):
\[
y = 8 — 5 = 3.
\]

Ответ \((5; 3)\).

в)
\[
\begin{cases}
x + y = 5, \\
x^2 — xy + y^2 = 13
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из первого уравнения: \( y = 5 — x \).
2. Подставляем \( y = 5 — x \) во второе уравнение:
\[
x^2 — x(5 — x) + (5 — x)^2 = 13.
\]

Раскрываем скобки:
\[
x^2 — 5x + x^2 + 25 — 10x + x^2 = 13.
\]

Приводим к виду:
\[
3x^2 — 15x + 12 = 0, \quad x^2 — 5x + 4 = 0.
\]

3. Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\]

4. Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\]

5. Находим \( y \):
\[
y_1 = 5 — 1 = 4, \quad y_2 = 5 — 4 = 1.
\]

Ответ: \((1; 4)\), \((4; 1)\).

г)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\
3y + x = 0
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \( x = -3y \).
2. Подставляем \( x = -3y \) в первое уравнение:
\[
(-3y)^2 + y^2 + 3(-3y)y = 1.
\]

Упрощаем:
\[
9y^2 + y^2 — 9y^2 = 1.
\]

Получаем:
\[
y^2 = 1, \quad y = \pm 1.
\]

3. Находим \( x \):
\[
x = -3 \cdot 1 = -3, \quad x = -3 \cdot (-1) = 3.
\]

Ответ: \((-3; 1)\), \((3; -1)\).

д)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 5x — 3y = -12, \\
2y — 7x = 8
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \( 2y = 7x + 8 \), \( y = 3.5x + 4 \).
2. Подставляем \( y = 3.5x + 4 \) в первое уравнение:
\[
2x^2 + 5x — 3(3.5x + 4) = -12.
\]

Упрощаем:
\[
2x^2 + 5x — 10.5x — 12 = -12.
\]

Приводим к виду:
\[
2x^2 — 5.5x = 0, \quad x(2x — 5.5) = 0.
\]

3. Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{5.5}{2} = 2.75, \quad x_2 = 0.
\]

4. Находим \( y \):
\[
y_1 = 3.5 \cdot 2.75 + 4 = 13.875, \quad y_2 = 3.5 \cdot 0 + 4 = 4.
\]

Ответ: \((0; 4);\ \left(2\ \frac{3}{4};\ 13\ \frac{5}{8}\right).\)

е)
\[
\begin{cases}
y^2 — 6x + y = 0, \\
2x — \frac{1}{2}y = 1
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения:
\[
\frac{1}{2}y = 2x — 1, \quad y = 4x — 2.
\]

2. Подставляем \( y = 4x — 2 \) в первое уравнение:
\[
(4x — 2)^2 — 6x + (4x — 2) = 0.
\]

Упрощаем:
\[
16x^2 — 16x + 4 — 6x + 4x — 2 = 0.
\]

Приводим к виду:
\[
16x^2 — 18x + 2 = 0, \quad 8x^2 — 9x + 1 = 0.
\]

3. Дискриминант:
\[
D = 9^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 — 32 = 49.
\]

4. Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{9 — 7}{16} = \frac{1}{8}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{16} = 1.
\]

5. Находим \( y \):
\[
y_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} — 2 = -\frac{3}{2}, \quad y_2 = 4 \cdot 1 — 2 = 2.
\]

Ответ: \(\left(\frac{1}{8}; -1 \frac{1}{2}\right), (1; 2)\)

a) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y + 8 = xy, \\
y — 2x = 0
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения: \( y — 2x = 0 \), следовательно \( y = 2x \).

2. Подставляем \( y = 2x \) в первое уравнение:

\[
x^2 + 2x + 8 = x \cdot 2x
\]

Приводим к виду:

\[
x^2 — 2x — 8 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]

5. Находим \( y \):

\[
y_1 = -2 \cdot 2 = -4, \quad y_2 = 4 \cdot 2 = 8
\]

Ответ: \((-2; -4)\), \((4; 8)\)

b) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 16, \\
x + y = 8
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения: \( y = 8 — x \).

2. Подставляем \( y = 8 — x \) в первое уравнение:

\[
(x — (8 — x))(x + (8 — x)) = 16
\]

Подставляем \( x + y = 8 \):

\[
8(x — 8 + x) = 16
\]

Решаем:

\[
2x — 8 = 2, \quad x = 5
\]

3. Находим \( y \):

\[
y = 8 — 5 = 3
\]

Ответ: \((5; 3)\)

в) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 5, \\
x^2 — xy + y^2 = 13
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения: \( y = 5 — x \).

2. Подставляем \( y = 5 — x \) во второе уравнение:

\[
x^2 — x(5 — x) + (5 — x)^2 = 13
\]

Раскрываем скобки:

\[
x^2 — 5x + x^2 + 25 — 10x + x^2 = 13
\]

Приводим к виду:

\[
3x^2 — 15x + 12 = 0
\]

3. Находим дискриминант:

\[
D = (-15)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 = 225 — 144 = 81
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\]

5. Находим \( y \):

\[
y_1 = 5 — 1 = 4, \quad y_2 = 5 — 4 = 1
\]

Ответ: \((1; 4)\), \((4; 1)\)

г) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
xy = -2, \\
y + 8 = \frac{1}{2}x^2
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения: \( y = \frac{-2}{x} \).

2. Подставляем \( y = \frac{-2}{x} \) во второе уравнение:

\[
\frac{-2}{x} + 8 = \frac{1}{2}x^2
\]

Умножаем обе стороны на \( x \):

\[
-2 + 8x = \frac{1}{2}x^3
\]

Переносим все элементы в одну сторону:

\[
\frac{1}{2}x^3 — 8x + 2 = 0
\]

Ответ для четвертого уравнения: точки пересечения: \((-4,1; 0,5), (3,9; -0,5), (0,3; -8)

д) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x^2 + 5x — 3y = -12, \\
2y — 7x = 8
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения:

\[
2y = 7x + 8, \quad y = 3.5x + 4
\]

2. Подставим \( y = 3.5x + 4 \) в первое уравнение:

\[
2x^2 + 5x — 3(3.5x + 4) = -12
\]

Упрощаем:

\[
2x^2 + 5x — 10.5x — 12 = -12
\]

Приводим к виду:

\[
2x^2 — 5.5x = 0, \quad x(2x — 5.5) = 0
\]

3. Находим корни уравнения:

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{5.5}{2} = 2.75
\]

4. Находим \( y \):

\[
y_1 = 3.5 \cdot 0 + 4 = 4, \quad y_2 = 3.5 \cdot 2.75 + 4 = 13.875
\]

Ответ: \((0; 4), (2.75; 13.875)\)

е) Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y^2 — 6x + y = 0, \\
2x — \frac{1}{2}y = 1
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения:

\[
\frac{1}{2}y = 2x — 1, \quad y = 4x — 2
\]

2. Подставим \( y = 4x — 2 \) в первое уравнение:

\[
(4x — 2)^2 — 6x + (4x — 2) = 0
\]

Упрощаем:

\[
16x^2 — 16x + 4 — 6x + 4x — 2 = 0
\]

Приводим к виду:

\[
16x^2 — 18x + 2 = 0, \quad 8x^2 — 9x + 1 = 0
\]

3. Дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 — 32 = 49
\]

4. Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{16} = \frac{1}{8}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{16} = 1
\]

5. Находим \( y \):

\[
y_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} — 2 = -\frac{3}{2}, \quad y_2 = 4 \cdot 1 — 2 = 2
\]

Ответ: \(\left(\frac{1}{8}; -1 \frac{1}{2}\right), (1; 2)\)