ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 950 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Зададим переменные:
\( x \) км/ч — для легкового;

\( y \) км/ч — для грузового;

1) Первое уравнение:
\[ x — y = 5, \quad y = x — 5; \]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{120 — 45}{x} = \frac{45}{y} + \frac{30}{60}, \quad \frac{75}{x} = \frac{45}{x — 5} + \frac{1}{2};
\]

\[
150 \cdot (x — 5) = 90 \cdot x + x \cdot (x — 5);
\]

\[
150x — 750 = 90x + x^2 — 5x;
\]

\[
x^2 — 65x + 750 = 0;
\]

\[
D = 65^2 — 4 \cdot 750 = 4225 — 3000 = 1225, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{65 — 35}{2} = 15 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{65 + 35}{2} = 50;
\]

\[
y_1 = 15 — 5 = 10 \quad \text{и} \quad y_2 = 50 — 5 = 45;
\]

Ответ: 10 или 45 км/ч.

1. Обозначим скорости: \( x \) км/ч — скорость легковой автомашины, \( y \) км/ч — скорость грузовика. По условию грузовик медленнее на \( 5 \) км/ч, значит \( y=x-5 \). Требования физического смысла: \( x>0 \), \( y>0 \Rightarrow x>5 \).

2. Расстояние между сёлом и городом \( 120 \) км. Встретились в \( 45 \) км от города, следовательно, к моменту встречи легковая прошла \( 120-45=75 \) км, а грузовик — \( 45 \) км.

3. Времена движения до встречи: для легковой \( t_{\text{легк}}=\frac{75}{x} \), для грузовика \( t_{\text{груз}}=\frac{45}{y} \). Грузовик стартовал на \( 30 \) минут позже, то есть на \( \frac{1}{2} \) часа; следовательно, к моменту встречи он двигался на \( \frac{1}{2} \) часа меньше: \( t_{\text{легк}}=t_{\text{груз}}+\frac{1}{2} \). Получаем уравнение \( \frac{75}{x}=\frac{45}{y}+\frac{1}{2} \).

4. Подставим связь скоростей \( y=x-5 \) и решим алгебраически: \( \frac{75}{x}=\frac{45}{x-5}+\frac{1}{2} \). Умножим обе части на \( 2x(x-5) \) (это корректно при \( x>5 \)): \( 150(x-5)=90x+x(x-5) \). Раскроем скобки и приведём к стандартному виду: \( 150x-750=90x+x^2-5x \Rightarrow x^2-65x+750=0 \).

5. Решим квадратное уравнение \( x^2-65x+750=0 \). Дискриминант \( D=65^2-4\cdot 1\cdot 750=4225-3000=1225 \), \( \sqrt{D}=35 \). Тогда \( x=\frac{65\pm 35}{2} \), то есть \( x_1=15 \) и \( x_2=50 \). Оба значения удовлетворяют условию \( x>5 \).

6. Найдём скорости грузовика по формуле \( y=x-5 \): для \( x=15 \) получаем \( y=10 \) км/ч; для \( x=50 \) получаем \( y=45 \) км/ч.

7. Проверка для обеих пар: для \( (x,y)=(15,10) \) имеем \( \frac{75}{15}=5 \) ч, \( \frac{45}{10}=4.5 \) ч, разница \( 0.5 \) ч — соответствует задержке в \( \frac{1}{2} \) часа; для \( (50,45) \) имеем \( \frac{75}{50}=1.5 \) ч, \( \frac{45}{45}=1 \) ч, разница \( 0.5 \) ч — также соответствует условию.

Ответ: скорость грузовика \( 10 \) км/ч или \( 45 \) км/ч