ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 950 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Зададим переменные:
\( x \) км/ч — для легкового;

\( y \) км/ч — для грузового;

1) Первое уравнение:
\[ x — y = 5, \quad y = x — 5; \]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{120 — 45}{x} = \frac{45}{y} + \frac{30}{60}, \quad \frac{75}{x} = \frac{45}{x — 5} + \frac{1}{2};
\]

\[
150 \cdot (x — 5) = 90 \cdot x + x \cdot (x — 5);
\]

\[
150x — 750 = 90x + x^2 — 5x;
\]

\[
x^2 — 65x + 750 = 0;
\]

\[
D = 65^2 — 4 \cdot 750 = 4225 — 3000 = 1225, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{65 — 35}{2} = 15 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{65 + 35}{2} = 50;
\]

\[
y_1 = 15 — 5 = 10 \quad \text{и} \quad y_2 = 50 — 5 = 45;
\]

Ответ: 10 или 45 км/ч.

Зададим переменные:

x км/ч — для легкового;

y км/ч — для грузового;

Решение:

1) Первое уравнение:

Дано уравнение: \( x — y = 5 \), что означает, что скорость легкового автомобиля на 5 км/ч больше, чем скорость грузового. Из этого уравнения можем выразить \( y \) через \( x \):

\[
y = x — 5
\]

2) Второе уравнение:

Подставляем \( y = x — 5 \) во второе уравнение \( \frac{120 — 45}{x} = \frac{45}{y} + \frac{30}{60} \):

\[
\frac{120 — 45}{x} = \frac{45}{x — 5} + \frac{30}{60};
\]

Преобразуем уравнение:

\[
\frac{75}{x} = \frac{45}{x — 5} + \frac{1}{2};
\]

Умножим обе части на \( 2x(x — 5) \), чтобы избавиться от дробей:

\[
150 \cdot (x — 5) = 90 \cdot x + x \cdot (x — 5);
\]

Раскрываем скобки:

\[
150x — 750 = 90x + x^2 — 5x;
\]

Собираем все на одну сторону:

\[
x^2 — 65x + 750 = 0;
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -65 \), \( c = 750 \), подставляем в формулу:

\[
D = (-65)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 750 = 4225 — 3000 = 1225;
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения для \( b = -65 \), \( D = 1225 \), и \( a = 1 \):

\[
x_1 = \frac{65 — 35}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{65 + 35}{2} = 50;
\]

Шаг 3: Находим соответствующие значения для \( y \):

Так как \( y = x — 5 \), подставляем найденные значения для \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[
y_1 = 15 — 5 = 10, \quad y_2 = 50 — 5 = 45;
\]

Ответ: Положительные решения \( x = 15 \) и \( x = 50 \), соответственно \( y = 10 \) и \( y = 45 \). Значит, возможные скорости легкового автомобиля — 15 км/ч или 50 км/ч.