ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 946 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

Пусть план был \( x \) деталей:

\[
\frac{240}{x — 4} = \frac{240}{x + 2}, \quad \frac{60}{x — 1} = \frac{60}{x + 2};
\]

\[
60 \cdot (x + 2) — x \cdot (x + 2) = 60x;
\]

\[
60x + 120 — x^2 — 2x = 60x;
\]

\[
x^2 + 2x — 120 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 120 = 4 + 480 = 484, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10;
\]

Ответ: 10 деталей.

Зададим переменную:

x — плановое количество деталей;

Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{240}{x — 4} = \frac{240}{x + 2}, \quad \frac{60}{x — 1} = \frac{60}{x + 2};
\]

Для первого уравнения: умножим обе части на \( (x — 4)(x + 2) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
(x — 4)(x + 2) \cdot \frac{240}{x — 4} = (x — 4)(x + 2) \cdot \frac{240}{x + 2}
\]

После упрощения получаем:

\[
240(x + 2) = 240(x — 4);
\]

Для второго уравнения: умножим обе части на \( (x — 1)(x + 2) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
(x — 1)(x + 2) \cdot \frac{60}{x — 1} = (x — 1)(x + 2) \cdot \frac{60}{x + 2}
\]

После упрощения получаем:

\[
60(x + 2) = 60(x — 1);
\]

Теперь решим одно из полученных уравнений:

\[
60 \cdot (x + 2) — x \cdot (x + 2) = 60x;
\]

Раскрываем скобки:

\[
60x + 120 — x^2 — 2x = 60x;
\]

Собираем все члены на одну сторону:

\[
-x^2 + 60x — 2x + 120 = 60x;
\]

Сокращаем \( 60x \) с обеих сторон и получаем:

\[
-x^2 + 120 = 0;
\]

Теперь переносим все на одну сторону:

\[
x^2 + 2x — 120 = 0;
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -120 \), подставляем в формулу:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484;
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения для \( b = 2 \), \( D = 484 \), и \( a = 1 \):

\[
x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10;
\]

Ответ: Положительное решение \( x = 10 \) деталей, так как количество деталей не может быть отрицательным.