ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 943 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки \( x \) км/ч:

\[
\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5 \quad | \cdot (x-3)(x+3);
\]

\[
36(x-3) + 36(x+3) = 5(x+3)(x-3);
\]

\[
36x — 108 + 36x + 108 = 5(x^2 — 9);
\]

\[
5x^2 — 72x — 45 = 0;
\]

\[
D = 72^2 + 4 \cdot 5 \cdot 45 = 5184 + 900 = 6084,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{72 — 78}{2 \cdot 5} = -0,6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15;
\]

Ответ: 15 км/ч.

1. Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость моторной лодки в стоячей воде, скорость течения равна \( 3 \) км/ч. Тогда по течению (вниз) фактическая скорость лодки равна \( x+3 \) км/ч, а против течения (вверх) — \( x-3 \) км/ч. Для физической реализуемости движения против течения необходимо \( x>3 \). Общее расстояние: туда \( 36 \) км и обратно \( 36 \) км.

2. Время на движение по течению: \( t_{\downarrow}=\frac{36}{x+3} \); время на движение против течения: \( t_{\uparrow}=\frac{36}{x-3} \). По условию суммарное время равно \( 5 \) ч, поэтому составляем уравнение времени: \( \frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5 \), где область допустимых значений \( x>3 \).

3. Устранение знаменателей выполняем умножением обеих частей на \( (x+3)(x-3) \) (корректно при \( x>3 \)): \( 36(x-3)+36(x+3)=5(x+3)(x-3) \). Левая часть: \( 36x-108+36x+108=72x \). Правая часть: \( 5\big((x+3)(x-3)\big)=5(x^2-9)=5x^2-45 \). Получаем квадратное уравнение: \( 72x=5x^2-45 \Rightarrow 5x^2-72x-45=0 \).

4. Решим квадратное уравнение \( 5x^2-72x-45=0 \). Дискриминант: \( D=(-72)^2-4\cdot 5\cdot(-45)=5184+900=6084 \), \( \sqrt{D}=78 \). Корни по формуле: \( x=\frac{72\pm 78}{2\cdot 5} \). Тогда \( x_1=\frac{72-78}{10}=-0.6 \) (не подходит, так как противоречит \( x>3 \)) и \( x_2=\frac{72+78}{10}=\frac{150}{10}=15 \) (удовлетворяет ОДЗ).

5. Проверка найденного значения \( x=15 \) на исходных данных. По течению скорость \( 15+3=18 \) км/ч, время \( t_{\downarrow}=\frac{36}{18}=2 \) ч. Против течения скорость \( 15-3=12 \) км/ч, время \( t_{\uparrow}=\frac{36}{12}=3 \) ч. Сумма \( 2+3=5 \) ч — совпадает с условием задачи.

Ответ: скорость моторной лодки в стоячей воде \( 15 \) км/ч.