ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 943 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки \( x \) км/ч:

\[
\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5 \quad | \cdot (x-3)(x+3);
\]

\[
36(x-3) + 36(x+3) = 5(x+3)(x-3);
\]

\[
36x — 108 + 36x + 108 = 5(x^2 — 9);
\]

\[
5x^2 — 72x — 45 = 0;
\]

\[
D = 72^2 + 4 \cdot 5 \cdot 45 = 5184 + 900 = 6084,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{72 — 78}{2 \cdot 5} = -0,6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15;
\]

Ответ: 15 км/ч.

Зададим переменную:

x км/ч — скорость лодки;

Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5
\]

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \( (x+3)(x-3) \) (общий знаменатель):

\[
\left(\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3}\right) \cdot (x+3)(x-3) = 5 \cdot (x+3)(x-3)
\]

Раскрываем скобки:

\[
36(x-3) + 36(x+3) = 5(x+3)(x-3)
\]

Упрощаем выражения:

\[
36x — 108 + 36x + 108 = 5(x^2 — 9)
\]

Собираем подобные члены:

\[
72x = 5(x^2 — 9)
\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
72x = 5x^2 — 45
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
5x^2 — 72x — 45 = 0
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

В нашем уравнении \( a = 5 \), \( b = -72 \), \( c = -45 \), подставляем в формулу:

\[
D = (-72)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения для \( b = -72 \), \( D = 6084 \), и \( a = 5 \):

\[
x_1 = \frac{-(-72) — \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} = \frac{72 — 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6
\]

\[
x_2 = \frac{-(-72) + \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15
\]

Ответ: Положительное решение \( x = 15 \) км/ч, так как скорость не может быть отрицательной.