ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 942 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на 180 км. Одна автомашина пришла в город на 45 мин позже другой, так как её скорость была на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Зададим переменные:
\( x \) км/ч — скорость первой;

\( y \) км/ч — скорость второй;

1) Первое уравнение:
\[
y — x = 20, \quad y = x + 20;
\]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{180}{x} + \frac{180}{y} = \frac{45}{60}, \quad \frac{4}{x} + \frac{4}{x + 20} = \frac{1}{60};
\]

\[
240(x + 20) — 240x = x(x + 20);
\]

\[
240x + 4800 — 240x = x^2 + 20x;
\]

\[
x^2 + 20x — 4800 = 0;
\]

\[
D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 400 + 19200 = 19600,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-20 — 140}{2} = -80, \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60;
\]

\[
y_1 = -80 + 20 = -60, \quad y_2 = 60 + 20 = 80;
\]

Ответ: \( 60 \) и \( 80 \) км/ч.

1. Обозначим скорости: \( x \) км/ч — скорость более медленной автомашины, \( y \) км/ч — скорость более быстрой. По условию более быстрая шла на \( 20 \) км/ч быстрее: \( y-x=20 \), то есть \( y=x+20 \). Оба значения должны быть положительными: \( x>0 \), \( y>0 \Rightarrow x>0 \).

2. Время в пути равно расстояние, делённое на скорость. Тогда времена: \( t_x=\frac{180}{x} \) и \( t_y=\frac{180}{y} \) (в часах). Более медленная пришла на \( 45 \) минут позже, то есть на \( \frac{45}{60}=\frac{3}{4} \) часа: \( t_x-t_y=\frac{3}{4} \). С учётом связки скоростей получаем уравнение разности времён: \( \frac{180}{x}-\frac{180}{x+20}=\frac{3}{4} \).

3. Решим уравнение. Вынесем общий множитель и приведём к общему знаменателю: \( 180\!\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+20}\right)=\frac{3}{4} \Rightarrow 180\!\left(\frac{x+20-x}{x(x+20)}\right)=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{180\cdot 20}{x(x+20)}=\frac{3}{4} \). Тогда \( \frac{3600}{x(x+20)}=\frac{3}{4} \).

4. Перемножим крест-накрест: \( 3600\cdot 4=3\cdot x(x+20) \Rightarrow 14400=3x^2+60x \). Делим на \( 3 \): \( 4800=x^2+20x \), или \( x^2+20x-4800=0 \).

5. Найдём корни квадратного уравнения. Дискриминант: \( D=20^2-4\cdot 1\cdot(-4800)=400+19200=19600 \), \( \sqrt{D}=140 \). Тогда \( x=\frac{-20\pm 140}{2} \). Получаем \( x_1=\frac{120}{2}=60 \) и \( x_2=\frac{-160}{2}=-80 \). Отрицательное значение противоречит \( x>0 \), значит \( x=60 \).

6. Найдём скорость более быстрой автомашины: \( y=x+20=60+20=80 \) (км/ч).

7. Проверка условий задачи. Разница скоростей: \( 80-60=20 \) км/ч — верно. Времена: \( \frac{180}{60}=3 \) ч и \( \frac{180}{80}=2.25 \) ч, разница \( 3-2.25=0.75=\frac{3}{4} \) ч \( =45 \) мин — верно.

Ответ: \( 60 \) км/ч и \( 80 \) км/ч.