ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 941 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Зададим переменные:
\( x \) — требуется первой;
\( y \) — требуется второй;

1) Первое уравнение:
\[ x — y = 5, \quad y = x — 5; \]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1, \quad \frac{6}{x} + \frac{6}{x-5} = 1;
\]

\[
6(x — 5) + 6x = x(x — 5);
\]

\[
6x — 30 + 6x = x^2 — 5x;
\]

\[
x^2 — 17x + 30 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 30 = 289 — 120 = 169,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{17 — 13}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{17 + 13}{2} = 15;
\]

\[
y_1 = 2 — 5 = -3, \quad y_2 = 15 — 5 = 10;
\]

Ответ: \( 15 \) и \( 10 \).

1. Пусть \( x \) — время (в часах), за которое первая бригада выполняет всю работу одна, а \( y \) — время (в часах) для второй бригады. Из условия первая бригада работает медленнее на \( 5 \) часов дольше: \( x — y = 5 \), то есть \( x = y + 5 \) и эквивалентно \( y = x — 5 \). Область допустимых значений: \( x>0 \), \( y>0 \), следовательно \( x>5 \).

2. Производительность первой бригады равна \( \frac{1}{x} \) работы в час, второй — \( \frac{1}{y} \) работы в час. Совместная производительность равна сумме: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \). За \( 6 \) часов они выполняют одну работу, поэтому \( 6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1 \), то есть \( \frac{6}{x}+\frac{6}{y}=1 \).

3. Подставим связь \( y=x-5 \) в уравнение совместной работы: \( \frac{6}{x}+\frac{6}{x-5}=1 \). Приведём к уравнению без дробей, домножив на \( x(x-5) \) (это корректно при \( x>5 \)): получаем \( 6(x-5)+6x=x(x-5) \).

4. Раскроем скобки и упростим: \( 6x-30+6x=x^2-5x \Rightarrow 12x-30=x^2-5x \Rightarrow x^2-17x+30=0 \). Это квадратное уравнение с коэффициентами \( a=1 \), \( b=-17 \), \( c=30 \).

5. Найдём дискриминант: \( D=b^2-4ac=17^2-4\cdot 1\cdot 30=289-120=169 \). Тогда корни: \( x=\frac{17\pm \sqrt{169}}{2}=\frac{17\pm 13}{2} \). Имеем два значения: \( x_1=\frac{17-13}{2}=2 \) и \( x_2=\frac{17+13}{2}=15 \).

6. Отбор по области допустимых значений. При \( x=2 \) получаем \( y=x-5=2-5=-3 \), что противоречит \( y>0 \). Следовательно, физический смысл имеет только \( x=15 \). Тогда \( y=x-5=15-5=10 \).

7. Проверка результата на исходных условиях. Разница времён: \( x-y=15-10=5 \) — соответствует условию. Совместная работа за \( 6 \) часов: сумма долей равна \( \frac{6}{15}+\frac{6}{10}=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1 \), то есть за \( 6 \) часов выполняется ровно одна работа — условие выполнено.

Ответ: первая бригада — \( 15 \) ч, вторая бригада — \( 10 \) ч.