ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 940 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)
\[
\frac{x}{x — 8} — \frac{5}{x + 8} = \frac{16}{x^2 — 9};
\]

б)
\[
\frac{70}{x^2 — 16} — \frac{17}{x — 4} = \frac{3x}{x + 4};
\]

в)
\[
\frac{5}{(2 — x)^2} — \frac{5}{(x + 2)^2} = \frac{14}{x^2 — 4};
\]

г)
\[
\frac{2}{4 — x^2} — \frac{1}{2x — 4} = \frac{7}{2x^2 + 4x};
\]

д)
\[
\frac{1}{x^2 — 9} + \frac{1}{3x — x^2} = \frac{3}{2x + 6};
\]

е)
\[
\frac{2}{1 — x^2} — \frac{1}{1 — x} + \frac{4}{(x + 1)^2} = 0;
\]

ж)
\[
\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x — 10} = \frac{15}{x^2 — 25};
\]

з)
\[
\frac{6}{2x + 6} + \frac{1}{6x^2 — 18x} = \frac{29}{27 — 9x^2}.
\]

a)
\[
\frac{x}{x-3} — \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9};
\]

\[
x(x+3) — 5(x-3) = 18;
\]

\[
x^2 + 3x — 5x + 15 = 18;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Область определения:
\( x — 3 \neq 0, \, x \neq 3; \)

\( x + 3 \neq 0, \, x \neq -3; \)

Ответ: \(-1\).

б)
\[
\frac{70}{x^2-16} — \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4};
\]

\[
70 — 17(x+4) = 3x(x-4);
\]

\[
70 — 17x — 68 = 3x^2 — 12x;
\]

\[
3x^2 + 5x — 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};
\]

Область определения:
\( x^2 — 16 \neq 0, \, x \neq \pm 4; \)

\( x — 4 \neq 0, \, x \neq 4; \)

Ответ: \( -2; \frac{1}{3} \).

в)
\[
\frac{3}{(2-x)^2} — \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4};
\]

\[
3(x + 2)^2 — 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2);
\]

\[
3(x^2 + 4x + 4) — 5(x^2 — 4x + 4) = 14(x^2 — 4);
\]

\[
16x^2 — 32x — 48 = 0, \quad x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Область определения:
\( x — 2 \neq 0, \, x \neq 2; \)

\( x + 2 \neq 0, \, x \neq -2; \)

Ответ: \( -1; 3 \).

г)
\[
\frac{2}{4-x^2} — \frac{1}{2x-4} = \frac{7}{2x^2 + 4x};
\]

\[
-4x — x(x+2) — 7(x-2) = 0;
\]

\[
x^2 + 13x — 14 = 0;
\]

\[
D = 13^2 + 4 \cdot 14 = 169 + 56 = 225, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-13 — 15}{2} = -14 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-13 + 15}{2} = 1;
\]

Область определения:
\( x — 2 \neq 0, \, x \neq 2; \)

\( x + 2 \neq 0, \, x \neq -2; \)

Ответ: \( -14; 1 \).

д)
\[
\frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6};
\]

\[
2x — 2(x+3) = 3x(x-3);
\]

\[
3x^2 — 9x + 6 = 0, \quad x^2 — 3x + 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

Область определения:
\( x — 3 \neq 0, \, x \neq 3; \)

\( x + 3 \neq 0, \, x \neq -3; \)

Ответ: \( 1; 2 \).

е)
\[
\frac{2}{1-x^2} — \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0;
\]

\[
-2(x+1) + (x+1)^2 + 4(x-1) = 0;
\]

\[
x^2 + 4x — 5 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\]

Область определения:
\( x — 1 \neq 0, \, x \neq 1; \)

\( x + 1 \neq 0, \, x \neq -1; \)

Ответ: \(-5\).

ж)
\[
\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25};
\]

\[
4(x-5) + 3x(x+5) = 30x;
\]

\[
3x^2 — 11x — 20 = 0;
\]

\[
D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 20 = 121 + 240 = 361, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = 5;
\]

Область определения:
\( x — 5 \neq 0, \, x \neq 5; \)

\( x + 5 \neq 0, \, x \neq -5; \)

Ответ: \(-1; \frac{1}{3}\).

3)
\[
\frac{5}{2x+6} — \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2};
\]

\[
15x(x-3) — (x+3) = -58x;
\]

\[
15x^2 + 12x — 3 = 0, \quad 5x^2 + 4x — 1 = 0;
\]
\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 6}{2 \cdot 5} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5};
\]

Область определения:
\( x — 3 \neq 0, \, x \neq 3; \)

\( x + 3 \neq 0, \, x \neq -3; \)

Ответ: \(-1; \frac{1}{5}\).

а) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{x}{x-3} — \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9};
\]

Так как \( x^2 — 9 \) — это разность квадратов, то \( x^2 — 9 = (x-3)(x+3) \), уравнение можно записать так:

\[
\frac{x}{(x-3)(x+3)} — \frac{5}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)};
\]

Теперь приводим дроби к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) \):

\[
\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} — \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)};
\]

Умножаем обе стороны на \( (x-3)(x+3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
x(x+3) — 5(x-3) = 18;
\]

Раскрываем скобки:

\[
x^2 + 3x — 5x + 15 = 18;
\]

Собираем подобные члены:

\[
x^2 — 2x + 15 = 18;
\]

Переносим 18 на левую сторону:

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \), подставляем в формулу:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16;
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения по формуле:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения для \( b = -2 \), \( D = 16 \), и \( a = 1 \):

\[
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3
\]

Область определения:

Чтобы уравнение было определено, \( x \) не может быть равно 3 и -3 (так как знаменатели в исходном уравнении не могут быть равны нулю). То есть, \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Ответ: \( x = -1 \), так как \( x_2 = 3 \) не подходит.

б) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{70}{x^2-16} — \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4};
\]

Представляем \( x^2 — 16 \) как разность квадратов: \( x^2 — 16 = (x-4)(x+4) \), тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{70}{(x-4)(x+4)} — \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4};
\]

Приводим дроби к общему знаменателю, умножая все части на \( (x-4)(x+4) \):

\[
70 — 17(x+4) = 3x(x-4);
\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
70 — 17x — 68 = 3x^2 — 12x;
\]

Приводим подобные члены:

\[
3x^2 + 5x — 2 = 0;
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 3x^2 + 5x — 2 = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49;
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни уравнения по формуле:

\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 7}{6} = -2
\]

\[
x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}
\]

Область определения:

Уравнение определено при \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \), так как знаменатели не могут быть равны нулю.

Ответ: \( x = -2; \frac{1}{3} \).

в) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{3}{(2-x)^2} — \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4};
\]

Преобразуем \( x^2 — 4 \) как разность квадратов: \( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \), тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{3}{(2-x)^2} — \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)};
\]

Приводим все дроби к общему знаменателю и упрощаем уравнение:

\[
3(x+2)^2 — 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2);
\]

Раскрываем скобки:

\[
3(x^2 + 4x + 4) — 5(x^2 — 4x + 4) = 14(x^2 — 4);
\]

Упрощаем и получаем квадратное уравнение:

\[
16x^2 — 32x — 48 = 0, \quad x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 3;
\]

Область определения:

Уравнение определено при \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \), так как знаменатели не могут быть равны нулю.

Ответ: \( -1; 3 \).

г) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{2}{4-x^2} — \frac{1}{2x-4} = \frac{7}{2x^2 + 4x};
\]

\[
-4x — x(x+2) — 7(x-2) = 0;
\]

\[
x^2 + 13x — 14 = 0;
\]

\[
D = 13^2 + 4 \cdot 14 = 169 + 56 = 225, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-13 — 15}{2} = -14 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-13 + 15}{2} = 1;
\]

Область определения:

\( x — 2 \neq 0, \, x \neq 2; \)

\( x + 2 \neq 0, \, x \neq -2; \)

Ответ: \( -14; 1 \).

д) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6};
\]

\[
2x — 2(x+3) = 3x(x-3);
\]

\[
3x^2 — 9x + 6 = 0, \quad x^2 — 3x + 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

Область определения:

\( x — 3 \neq 0, \, x \neq 3; \)

\( x + 3 \neq 0, \, x \neq -3; \)

Ответ: \( 1; 2 \).

е) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{2}{1-x^2} — \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0;
\]

\[
-2(x+1) + (x+1)^2 + 4(x-1) = 0;
\]

\[
x^2 + 4x — 5 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\]

Область определения:

\( x — 1 \neq 0, \, x \neq 1; \)

\( x + 1 \neq 0, \, x \neq -1; \)

Ответ: \( -5 \).

ж) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25};
\]

\[
4(x-5) + 3x(x+5) = 30x;
\]

\[
3x^2 — 11x — 20 = 0;
\]

\[
D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 20 = 121 + 240 = 361, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = 5;
\]

Область определения:

\( x — 5 \neq 0, \, x \neq 5; \)

\( x + 5 \neq 0, \, x \neq -5; \)

Ответ: \(-1; \frac{1}{3}\).

3) Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{5}{2x+6} — \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2};
\]

\[
15x(x-3) — (x+3) = -58x;
\]

\[
15x^2 + 12x — 3 = 0, \quad 5x^2 + 4x — 1 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 6}{2 \cdot 5} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5};
\]

Область определения:

\( x — 3 \neq 0, \, x \neq 3; \)

\( x + 3 \neq 0, \, x \neq -3; \)

Ответ: \( -1; \frac{1}{5} \).