ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 939 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.

Зададим переменные:
\( x \, \text{м} \) — меньший катет;

\( y \, \text{м} \) — больший катет;

1) Первое уравнение:
\( y — x = 20 \), \( y = x + 20 \);

2) Второе уравнение:
\[
\frac{1}{2} xy = 0{,}24 \cdot 10\,000;
\]

\( x(x + 20) = 4800 \), \( x^2 + 20x — 4800 = 0 \);

\[
D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 400 + 19\,200 = 19\,600,
\]
тогда:

\[
x_1 = \frac{-20 — 140}{2} = -80 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60;
\]

\[
y_1 = -80 + 20 = -60 \quad \text{и} \quad y_2 = 60 + 20 = 80;
\]

3) Длина границы:
\[
L = x + y + \sqrt{x^2 + y^2};
\]

\[
L = 60 + 80 + \sqrt{3600 + 6400};
\]

\[
L = 140 + \sqrt{10\,000} = 240;
\]

Ответ: 240 м.

Зададим переменные:

x м — меньший катет;

y м — больший катет;

1) Первое уравнение:

Первое уравнение \( y — x = 20 \) можно переписать как:

\[
y = x + 20
\]

2) Второе уравнение:

Подставляем \( y = x + 20 \) во второе уравнение:

\[
\frac{1}{2}xy = 0{,}24 \cdot 10{,}000
\]

Умножаем обе стороны на 2:

\[
xy = 4800
\]

Теперь подставим выражение для \( y \):

\[
x(x + 20) = 4800
\]

Раскрываем скобки:

\[
x^2 + 20x = 4800
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 + 20x — 4800 = 0
\]

Шаг 1: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = 20 \), \( c = -4800 \). Подставляем в формулу:

\[
D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19{,}200 = 19{,}600
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения для \( b = 20 \), \( D = 19{,}600 \), и \( a = 1 \):

\[
x_1 = \frac{-20 — 140}{2 \cdot 1} = \frac{-160}{2} = -80, \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60
\]

Шаг 3: Находим соответствующие значения для y:

Подставляем найденные значения для \( x_1 \) и \( x_2 \) в уравнение \( y = x + 20 \):

\[
y_1 = -80 + 20 = -60, \quad y_2 = 60 + 20 = 80
\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, принимаем \( y_2 = 80 \). Таким образом, \( x = 60 \) и \( y = 80 \).

3) Длина границы:

Для нахождения длины границы прямоугольного треугольника используем формулу периметра с гипотенузой:

\[
L = x + y + \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Подставляем значения для \( x = 60 \) и \( y = 80 \):

\[
L = 60 + 80 + \sqrt{60^2 + 80^2}
\]

\[
L = 140 + \sqrt{3600 + 6400}
\]

\[
L = 140 + \sqrt{10{,}000} = 140 + 100 = 240
\]

Ответ: Длина границы составляет \( 240 \) метров.