ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 924 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:
a)

\[
\frac{x — y}{x\sqrt{y} — y\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x};
\]

б)

\[
\frac{a — b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} — \frac{\sqrt{a}}{a}.
\]

Доказать равенство:

а)
\[
\frac{x — y}{x\sqrt{y} — y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} — \sqrt{y})} =
\]

\[
= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x};
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
\frac{a — b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} =
\]

\[
= \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{1}{\sqrt{a}} — \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b} — \frac{\sqrt{a}}{a};
\]

Что и требовалось доказать.

а) Доказательство равенства:

Дано выражение:

\[
\frac{x — y}{x\sqrt{y} — y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}
\]

Шаг 1: Начнем с того, что выразим правую часть дроби. В числителе мы видим разность квадратов, а в знаменателе можем выделить общий множитель \(\sqrt{xy}\), поэтому:

\[
\frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} — \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.
\]

Шаг 2: Теперь мы имеем выражение \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\), которое эквивалентно следующему:

\[
\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}.
\]

Шаг 3: Запишем это в другом виде:

\[
\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}.
\]

Итак, мы доказали равенство:

\[
\frac{x — y}{x\sqrt{y} — y\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}.
\]

Что и требовалось доказать.

б) Доказательство равенства:

Дано выражение:

\[
\frac{a — b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]

Шаг 1: Преобразуем правую часть дроби, используя разность квадратов в числителе и общий множитель \(\sqrt{ab}\) в знаменателе:

\[
\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}.
\]

Шаг 2: Мы можем записать это выражение в виде:

\[
\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{1}{\sqrt{a}} — \frac{1}{\sqrt{b}}.
\]

Шаг 3: Запишем это в другом виде:

\[
\frac{1}{\sqrt{a}} — \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b} — \frac{\sqrt{a}}{a}.
\]

Итак, мы доказали равенство:

\[
\frac{a — b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} — \frac{\sqrt{a}}{a}.
\]

Что и требовалось доказать.