ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 922 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а)
\[
\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y} — \frac{\sqrt{y} + 5}{\sqrt{y}(\sqrt{y} + 5)} = \frac{1}{\sqrt{y}};
\]

б)
\[
\frac{3x — 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{3(x — 2)}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{x} — \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = 3\sqrt{x} — 3\sqrt{2};
\]

в)
\[
\frac{\sqrt{a} — 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a})^3 — 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} — 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} — 1;
\]

г)
\[
\frac{b — \sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 1} = \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b})^3 + 1} = \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b — \sqrt{b} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{b} + 1};
\]

д)
\[
\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}};
\]

е)
\[
\frac{\sqrt{c} \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} — d\sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} — \sqrt{d})}{(\sqrt{c} — \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)} = \frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}.
\]

а) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y} — \frac{\sqrt{y} + 5}{\sqrt{y}(\sqrt{y} + 5)} = \frac{1}{\sqrt{y}};
\]

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю:

\[
= \frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y} — \frac{\sqrt{y} + 5}{\sqrt{y}(\sqrt{y} + 5)}
\]

Шаг 2: Упростим выражения:

\[
= \frac{1}{\sqrt{y}}
\]

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{y}} \)

б) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{3x — 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{3(x — 2)}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{x} — \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = 3\sqrt{x} — 3\sqrt{2};
\]

Шаг 1: Перепишем выражение:

\[
\frac{3x — 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{3(x — 2)}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}
\]

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

\[
= \frac{3(\sqrt{x} — \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}
\]

Шаг 3: Упростим:

\[
= 3\sqrt{x} — 3\sqrt{2}
\]

Ответ: \( 3\sqrt{x} — 3\sqrt{2} \)

в) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{\sqrt{a} — 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a})^3 — 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} — 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} — 1;
\]

Шаг 1: Применяем разность кубов:

\[
\frac{\sqrt{a} — 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a})^3 — 1}{a + \sqrt{a} + 1}
\]

Шаг 2: Разкроем разность кубов:

\[
= \frac{(\sqrt{a} — 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1}
\]

Шаг 3: Упростим:

\[
= \sqrt{a} — 1
\]

Ответ: \( \sqrt{a} — 1 \)

г) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{b — \sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 1} = \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b})^3 + 1} = \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b — \sqrt{b} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{b} + 1};
\]

Шаг 1: Перепишем выражение:

\[
\frac{b — \sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 1} = \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b})^3 + 1}
\]

Шаг 2: Используем формулу разности кубов:

\[
= \frac{b — \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b — \sqrt{b} + 1)}
\]

Шаг 3: Упростим:

\[
= \frac{1}{\sqrt{b} + 1}
\]

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \)

д) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}};
\]

Шаг 1: Перепишем выражение:

\[
\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

\[
= \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}
\]

Ответ: \( \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}} \)

е) Упростить выражение:

Дано выражение:

\[
\frac{\sqrt{c} \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} — d\sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} — \sqrt{d})}{(\sqrt{c} — \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)} = \frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}.
\]

Шаг 1: Перепишем выражение:

\[
\frac{\sqrt{c} \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} — d\sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} — \sqrt{d})}{(\sqrt{c} — \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

\[
= \frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}
\]

Ответ: \( \frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d} \)