ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 918 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) 2×3^2 — 5 — 3^+1 / 3^-1

б) 25·4^4 / 4^-1·4^-1

в) 10 — 6^4 / 2^-1·3^-1

г) 2^4-1·3^+1 / 100^

Упростить выражение:

а)
\[
\frac{2 \cdot 3^{n+2} — 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}} =
\]

\[
= \frac{2 \cdot 3^2 \cdot 3^n — 5 \cdot 3 \cdot 3^n}{3^{n-1}} =
\]

\[
= \frac{3 \cdot 3^n \cdot (2 \cdot 9 — 15)}{3^n} =
\]

\[
= 3 \cdot (18 — 15) = 3 \cdot 3 = 9;
\]

б)
\[
\frac{25 \cdot 4^n}{4^n — 4^{n-1}} =
\]

\[
= \frac{25 \cdot 4^n}{4^n — \frac{4^n}{4}} =
\]

\[
= \frac{25 \cdot 4}{4-1} = \frac{100}{3} = 33 + \frac{1}{3} = 33\frac{1}{3};
\]

в)
\[
\frac{10 \cdot 6^n}{2^{2n+1} \cdot 3^n} =
\]

\[
= \frac{10 \cdot 2 \cdot 3^n}{2 \cdot 2^n \cdot 3^n} = 5 \cdot 3 = 15;
\]

г)
\[
\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n} =
\]

\[
= \frac{2^{-1} \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{2n}}{10^{2n}} =
\]

\[
= \frac{5 \cdot 10^{2n}}{2 \cdot 10^{2n}} = 2,5.
\]

а) Упрощение выражения:

Дано выражение:

\[
\frac{2 \cdot 3^{n+2} — 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}}
\]

Шаг 1: Разделим выражения по степеням 3:

Мы можем переписать числитель, выделив степень 3:

\[
2 \cdot 3^{n+2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 3^n, \quad 5 \cdot 3^{n+1} = 5 \cdot 3 \cdot 3^n
\]

Теперь подставляем это в выражение:

\[
= \frac{2 \cdot 3^2 \cdot 3^n — 5 \cdot 3 \cdot 3^n}{3^{n-1}}
\]

Шаг 2: Вынесем \(3^n\) за скобки:

Так как \(3^n\) присутствует и в числителе, и в знаменателе, мы можем вынести его за скобки:

\[
= \frac{3 \cdot 3^n \cdot (2 \cdot 9 — 15)}{3^n}
\]

Шаг 3: Упростим дробь:

После того как мы вынесли \(3^n\), оно сокращается в числителе и знаменателе, и остаётся:

\[
= 3 \cdot (18 — 15) = 3 \cdot 3 = 9
\]

Ответ: \(9\)

б) Упрощение выражения:

Дано выражение:

\[
\frac{25 \cdot 4^n}{4^n — 4^{n-1}}
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение во втором члене:

Мы можем выразить \(4^{n-1}\) как \(\frac{4^n}{4}\), то есть:

\[
4^n — 4^{n-1} = 4^n — \frac{4^n}{4}
\]

Шаг 2: Вынесем \(4^n\) за скобки:

Теперь выражение выглядит так:

\[
= \frac{25 \cdot 4^n}{4^n — \frac{4^n}{4}} = \frac{25 \cdot 4^n}{4^n \left(1 — \frac{1}{4}\right)}
\]

В скобках у нас остаётся \(1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), поэтому выражение становится:

\[
= \frac{25 \cdot 4^n}{4^n \cdot \frac{3}{4}} = \frac{25 \cdot 4}{3} = \frac{100}{3}
\]

Шаг 3: Представление результата:

Теперь мы можем записать результат как смешанное число:

\[
= 33 + \frac{1}{3}
\]

Ответ: \(33\frac{1}{3}\)

в) Упрощение выражения:

Дано выражение:

\[
\frac{10 \cdot 6^n}{2^{2n+1} \cdot 3^n}
\]

Шаг 1: Разделим выражение по степеням 2 и 3:

Мы можем разложить числитель и знаменатель по степеням:

\[
6^n = 2^n \cdot 3^n
\]

Теперь подставляем это в выражение:

\[
= \frac{10 \cdot 2^n \cdot 3^n}{2^{2n+1} \cdot 3^n}
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

Сокращаем \(3^n\) в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{10 \cdot 2^n}{2^{2n+1}} = \frac{10}{2^{n+1}} = 5 \cdot 3 = 15
\]

Ответ: \(15\)

г) Упрощение выражения:

Дано выражение:

\[
\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение в числителе и знаменателе:

Распишем \(100^n = (10^2)^n = 10^{2n}\), а \(5^{2n+1}\) можно записать как \(5 \cdot 5^{2n}\). Теперь подставим это в выражение:

\[
= \frac{2^{-1} \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{2n}}{10^{2n}}
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

Мы видим, что \(10^{2n}\) можно разложить как \(2^{2n} \cdot 5^{2n}\), и у нас остаются такие сокращения:

\[
= \frac{5 \cdot 10^{2n}}{2 \cdot 10^{2n}} = 2,5
\]

Ответ: \(2,5\)