ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 916 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Доказать неравенство:

a)
\[
a^2 + 2a + 2 \geq 0;
\]

\[
a^2 + 2a + 1 + 1 \geq 0;
\]

\[
(a + 1)^2 + 1 \geq 0;
\]

Неравенство доказано.

б)
\[
2x^2 — 2xy + y^2 \geq 0;
\]

\[
x^2 + x^2 — 2xy + y^2 \geq 0;
\]

\[
x^2 + (x — y)^2 \geq 0;
\]

Неравенство доказано.

а) Доказательство неравенства:

Необходимо доказать неравенство:

\[
a^2 + 2a + 2 \geq 0;
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение:

Преобразуем исходное выражение:

\[
a^2 + 2a + 2 = a^2 + 2a + 1 + 1 \geq 0;
\]

Шаг 2: Представление в виде полного квадрата:

Мы видим, что выражение \(a^2 + 2a + 1\) является полным квадратом:

\[
a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2
\]

Шаг 3: Доказательство:

Теперь имеем выражение:

\[
(a + 1)^2 + 1 \geq 0
\]

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то \((a + 1)^2 \geq 0\). К тому же прибавление положительного числа \(1\) к этому квадрату гарантирует, что всё выражение будет всегда больше либо равно нулю:

\[
(a + 1)^2 + 1 \geq 0
\]

Ответ: Неравенство доказано.

б) Доказательство неравенства:

Необходимо доказать неравенство:

\[
2x^2 — 2xy + y^2 \geq 0;
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение:

Запишем выражение как сумму квадратов:

\[
2x^2 — 2xy + y^2 = x^2 + x^2 — 2xy + y^2 \geq 0;
\]

Шаг 2: Представление как полный квадрат:

Теперь выражение выглядит как полный квадрат:

\[
x^2 + (x — y)^2 \geq 0;
\]

Шаг 3: Доказательство:

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то \((x — y)^2 \geq 0\), и сумма двух неотрицательных чисел всегда будет неотрицательной:

\[
x^2 + (x — y)^2 \geq 0;
\]

Ответ: Неравенство доказано.