Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 913 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а)
\[
\frac{7(m — 2)}{m^3 — 8} — \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m — 3}
\]
б)
\[
\left\{
\frac{a + 5}{a^2 — 9} ; \quad \frac{a^2 + 2}{a^2 — 3a + 9} ; \quad \frac{2(a + 8)}{a^3 + 27}
\right\}
\]
в)
\[
\frac{x + 2}{3x} — \frac{2}{x — 2} — \frac{x — 14}{3x^2 — 5x} ; \quad \frac{x + 2}{6x} — \frac{1}{x — 5}
\]
г)
\[
\left(
\frac{4x}{9 — x^2} — \frac{x — 3}{9 + 3x}
\right)
\cdot
\frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3x — x}
\]
Упростить выражение:
а) \( \left( \frac{7(m — 2)}{m^3 — 8} — \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} \right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m — 3} = \)
\( = \frac{7m — 14 — (m + 2)(m — 2)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4)} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m — 3} = \)
\( = \frac{2(7m — 14 — m^2 + 4)}{(m — 2)(m — 3)} = \frac{2(7m — 10 — m^2)}{(m — 2)(m — 3)} = \)
\( = \frac{-2(m — 2)(m — 5)}{(m — 2)(m — 3)} = \frac{10 — 2m}{m — 3}; \)
б) \( \frac{a + 5}{a^2 — 9} : \left( \frac{a + 2}{a^2 — 3a + 9} — \frac{2(a + 8)}{a^3 + 27} \right) = \)
\( = \frac{a + 5}{a^2 — 9} : \frac{(a + 2)(a + 3) — 2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} = \)
\( = \frac{a + 5}{(a — 3)(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{(a + 5)(a^2 — 3a + 9)} = \)
\( = \frac{a + 5}{(a — 3)(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{(a + 5)(a^2 — 3a + 9)} = \)
\( = \frac{a + 5}{(a — 3)(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{(a + 5)(a^2 — 3a + 9)} = \)
\( = \frac{a^2 — 3a + 9}{(a — 3)(a + 3)} \cdot \frac{a + 3}{a^2 — 3a + 9} = \frac{a + 5}{a^2 — 3a + 9} \);
в) \( \left( \frac{x + 2}{3x} — \frac{2}{x — 2} — \frac{x — 14}{3x^2 — 6x} \right) : \frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \left( \frac{x + 2}{3x} — \frac{2}{x — 2} — \frac{x — 14}{3x(x — 2)} \right) \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \frac{3x(x + 2)(x — 2) — 6x(x + 2) — (x — 14)(x + 2)}{3x(x — 2)(x + 2)} \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \frac{3x(x^2 — 4) — 6x(x + 2) — (x^2 — 12x — 28)}{3x(x — 2)(x + 2)} \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \frac{3x^3 — 12x — 6x^2 — 12x — x^2 + 12x + 28}{3x(x — 2)(x + 2)} \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \frac{3x^3 — 7x^2 — 12x + 28}{3x(x — 2)(x + 2)} \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \)
\( = \frac{2(3x^2 — 7x + 14)}{(x — 2)(x + 2)} \cdot \frac{1}{x — 5} = \frac{2(x^2 — 7x + 10)}{(x — 2)(x + 2)(x — 5)} = \)
\( = \frac{2(x — 2)(x — 5)}{(x — 2)(x + 2)(x — 5)} = \frac{2}{x + 2}; \)
г) \( \left( \frac{4x}{9 — x^2} — \frac{x — 3}{9 + 3x} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{4x}{(3 — x)(3 + x)} — \frac{x — 3}{3(x + 3)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{12x — (x — 3)(3 — x)}{3(3 — x)(3 + x)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{12x — (3x — x^2 — 9 + 3x)}{3(3 — x)(3 + x)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{12x — (-x^2 + 6x — 9)}{3(3 — x)(3 + x)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{12x + x^2 — 6x + 9}{3(3 — x)(3 + x)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \left( \frac{x^2 + 6x + 9}{3(3 — x)(3 + x)} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \frac{(x + 3)^2}{3(3 — x)(3 + x)} \cdot \frac{18}{x + 3} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \frac{(x + 3)}{3(3 — x)} \cdot \frac{18}{1} — \frac{2x}{3 — x} = \frac{6(x + 3)}{3 — x} — \frac{2x}{3 — x} = \)
\( = \frac{6}{3 — x} \cdot \frac{2x}{3 — x} = \frac{2x — 6}{x — 3} = 2; \)
ОДЗ: \(m^3 — 8 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2\); \(m^2 + 2m + 4 \neq 0\) для всех вещественных \(m\); \(m — 3 \neq 0 \Rightarrow m \neq 3\). Итого: \(m \neq 2, 3\).
Разложим знаменатель кубической разности и вынесем множитель в числителе третьей дроби: \(m^3 — 8 = (m — 2)(m^2 + 2m + 4)\), \(2m^2 + 4m + 8 = 2(m^2 + 2m + 4)\).
Первую скобку приведём к общему знаменателю \(m^2 + 2m + 4\):
\( \frac{7(m — 2)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4)} — \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 — (m + 2)}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 — m}{m^2 + 2m + 4}. \)
Домножаем на \( \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m — 3} \) и сокращаем общий множитель \(m^2 + 2m + 4\):
\( \frac{5 — m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m — 3} = \frac{2(5 — m)}{m — 3} = \frac{10 — 2m}{m — 3}. \)
Ответ: \( \frac{10 — 2m}{m — 3} \), при \(m \neq 2, 3\).
ОДЗ: \(a^2 — 9 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 3\); \(a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9) \neq 0 \Rightarrow a \neq -3\); делитель в скобках не равен нулю (см. ниже) \(\Rightarrow a \neq -5, 2\). Итого: \(a \neq -5, -3, 2, 3\).
Разложим \(a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9)\). Приведём разность в скобках к общему знаменателю \((a + 3)(a^2 — 3a + 9)\):
\( \frac{a + 2}{a^2 — 3a + 9} — \frac{2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} = \frac{(a + 2)(a + 3) — 2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}. \)
Числитель: \((a + 2)(a + 3) — 2(a + 8) = a^2 + 5a +\)
\(6 — 2a — 16 = a^2 + 3a — 10 = (a + 5)(a — 2)\).
Тогда исходное выражение:
\( \frac{a + 5}{(a — 3)(a + 3)} : \frac{(a + 5)(a — 2)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} = \frac{a + 5}{(a — 3)(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{(a + 5)(a — 2)}. \)
Сокращаем \(a + 5\) и \(a + 3\):
\( \frac{a^2 — 3a + 9}{(a — 3)(a — 2)}. \)
Ответ: \( \frac{a^2 — 3a + 9}{(a — 3)(a — 2)} \), при \(a \neq -5, -3, 2, 3\).
ОДЗ: \(x \neq 0, 2\) (знаменатели \(3x, x — 2, 3x^2 — 6x\)); делитель \( \frac{x + 2}{6x} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, -2\); множитель \( \frac{1}{x — 5} \Rightarrow x \neq 5\). Итого: \(x \neq -2, 0, 2, 5\).
Приведём первую скобку к общему знаменателю \(3x(x — 2)\):
\( \frac{x + 2}{3x} = \frac{(x + 2)(x — 2)}{3x(x — 2)} = \frac{x^2 — 4}{3x(x — 2)}, \quad \frac{2}{x — 2} = \frac{6x}{3x(x — 2)}, \quad \frac{x — 14}{3x^2 — 6x} = \frac{x — 14}{3x(x — 2)}. \)
Тогда
\( \frac{x^2 — 4}{3x(x — 2)} — \frac{6x}{3x(x — 2)} — \frac{x — 14}{3x(x — 2)} = \frac{x^2 — 4 — 6x — (x — 14)}{3x(x — 2)} = \frac{x^2 — 7x + 10}{3x(x — 2)}. \)
Факторизация числителя: \(x^2 — 7x + 10 = (x — 5)(x — 2)\), поэтому
\( \frac{(x — 5)(x — 2)}{3x(x — 2)} = \frac{x — 5}{3x}. \)
Деление на \( \frac{x + 2}{6x} \) и умножение на \( \frac{1}{x — 5} \):
\( \frac{x — 5}{3x} : \frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x — 5} = \frac{x — 5}{3x} \cdot \frac{6x}{x + 2} \cdot \frac{1}{x — 5} = \frac{2}{x + 2}. \)
Ответ: \( \frac{2}{x + 2} \), при \(x \neq -2, 0, 2, 5\).
ОДЗ: \(9 — x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3\); \(9 + 3x = 3(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\); \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\); \(3x — x = 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\). Итого: \(x \neq -3, 0, 3\).
Разложим: \(9 — x^2 = (3 — x)(3 + x)\), \(9 + 3x = 3(x + 3)\). Приведём выражение в скобках к общему знаменателю \(3(3 — x)(3 + x)\):
\( \frac{4x}{(3 — x)(3 + x)} — \frac{x — 3}{3(x + 3)} = \frac{12x — (x — 3)(3 — x)}{3(3 — x)(3 + x)}. \)
Заметим, что \((x — 3)(3 — x) = -(x — 3)^2\), поэтому числитель становится \(12x + (x — 3)^2 = 12x + x^2 — 6x + 9 = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
Следовательно,
\( \left( \frac{4x}{9 — x^2} — \frac{x — 3}{9 + 3x} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2}{3(3 — x)(3 + x)} \cdot \frac{18}{x + 3} = \frac{6(x + 3)}{(3 — x)(3 + x)} = \frac{6}{3 — x}. \)
Теперь вычтем \( \frac{2x}{3x — x} = \frac{2x}{2x} = 1 \):
\( \frac{6}{3 — x} — 1 = \frac{6 — (3 — x)}{3 — x} = \frac{x + 3}{3 — x} = -\frac{x + 3}{x — 3}. \)
Ответ: \( \frac{x + 3}{3 — x} \) (или \( -\frac{x + 3}{x — 3} \)), при \(x \neq -3, 0, 3\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.