Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 912 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите:
а) \(\frac{x^2 — 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 — 6x}{49 — x^2}\);
б) \(\frac{y^2 — 16y}{2y + 18} : \frac{4 — y}{y^2 + 8y}\);
в) \(\frac{(a + b)^2 — 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab}\);
г) \(\frac{5c^2 — 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 — c}{13c + 26}\).
Упростить выражение:
а) \( \frac{x^2 — 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 — 6x}{49 — x^2} = \frac{x(x — 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 — x)(7 + x)}{6(4 — x)} = \frac{x — 7}{6} \);
б) \( \frac{y^2 — 16y}{2y + 18} : \frac{4 — y}{y^2 + 9y} = \frac{y(y^2 — 16)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{4 — y} = \)
\( = \frac{y(y — 4)(y + 4) \cdot y}{-(y — 4) \cdot 2} = -\frac{y^3 + 4y^2}{2} \);
в) \( \frac{(a + b)^2 — 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab} = \)
\( = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 2ab}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2} = \)
\( = \frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{b}{4a} \);
г) \( \frac{5c^3 — 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 — c}{13c + 26} \cdot \frac{5(c^3 — 1)}{c + 2} \cdot \frac{13(c + 2)}{c^2 + 2c + 1 — c} = \)
\( = \frac{5(c — 1)(c^2 + c + 1)}{c + 2} \cdot \frac{13(c + 2)}{c^2 + c + 1} = 65(c — 1) = 65c — 65; \)
ОДЗ: \(x^2 + 7x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, -7\); \(49 — x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 7\); кроме того, \(\frac{24 — 6x}{49 — x^2} \neq 0 \Rightarrow 24 — 6x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\). Итого: \(x \neq -7, 0, 4, 7\).
Преобразуем деление в умножение на обратную дробь и разложим на множители: \(x^2 — 4x = x(x — 4)\), \(x^2 + 7x = x(x + 7)\), \(24 — 6x = 6(4 — x)\), \(49 — x^2 = (7 — x)(7 + x)\).
\( \frac{x^2 — 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 — 6x}{49 — x^2} = \frac{x(x — 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 — x)(7 + x)}{6(4 — x)} \).
Сокращаем \(x\) и \(x + 7\), учитываем \(x — 4 = -(4 — x)\) и \(7 — x = -(x — 7)\):
\( \frac{(x — 4)}{(x + 7)} \cdot \frac{(7 — x)(x + 7)}{6(4 — x)} = \frac{(x — 4)(7 — x)}{6(4 — x)} = \frac{(x — 4)\cdot \big(- (x — 7)\big)}{6\cdot \big(-(x — 4)\big)} = \frac{x — 7}{6} \).
Итог: \( \frac{x — 7}{6} \) при \(x \neq -7, 0, 4, 7\).
ОДЗ: \(2y + 18 \neq 0 \Rightarrow y \neq -9\); \(y^2 + 9y \neq 0 \Rightarrow y \neq 0, -9\); также \(\frac{4 — y}{y^2 + 9y} \neq 0 \Rightarrow 4 — y \neq 0 \Rightarrow y \neq 4\). Итого: \(y \neq -9, 0, 4\).
Разложим на множители: \(y^2 — 16 = (y — 4)(y + 4)\), \(2y + 18 = 2(y + 9)\), \(y^2 + 9y = y(y + 9)\).
Преобразуем деление в умножение на обратную дробь: \( \frac{y^2 — 16}{2y + 18} : \frac{4 — y}{y^2 + 9y} = \frac{(y — 4)(y + 4)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{4 — y} \).
Сокращаем общий множитель \(y + 9\); учитываем \(4 — y = -(y — 4)\):
\( \frac{(y — 4)(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{4 — y} = \frac{(y — 4)(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{-(y — 4)} = -\frac{y(y + 4)}{2} \).
С учётом оставшегося множителя \(y\) из числителя второй дроби: \(-\frac{y^3 + 4y^2}{2} \).
Итог: \(-\frac{y^3 + 4y^2}{2}\) при \(y \neq -9, 0, 4\).
ОДЗ: знаменатели не равны нулю и делитель определён: \(4a^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 0\); во второй дроби \(ab \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, b \neq 0\). Итого: \(a \neq 0,\, b \neq 0\).
Раскроем квадрат и приведём подобные: \((a + b)^2 — 2ab = a^2 + 2ab + b^2 — 2ab = a^2 + b^2\).
Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим \(a^2 + b^2\):
\( \frac{a^2 + b^2}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{ab}{4a^2} = \frac{b}{4a} \).
Итог: \( \frac{b}{4a} \) при \(a \neq 0,\, b \neq 0\).
ОДЗ: \(c + 2 \neq 0 \Rightarrow c \neq -2\); \(13c + 26 \neq 0 \Rightarrow c \neq -2\). Выражение \((c + 1)^2 — c = c^2 + c + 1\) над \(\mathbb{R}\) не обращается в ноль, поэтому дополнительных ограничений нет. Итого: \(c \neq -2\).
Разложим на множители: \(5c^3 — 5 = 5(c^3 — 1) = 5(c — 1)(c^2 + c + 1)\); \(13c + 26 = 13(c + 2)\); \((c + 1)^2 — c = c^2 + c + 1\).
Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим совпадающие множители \(c^2 + c + 1\) и \(c + 2\):
\( \frac{5(c — 1)(c^2 + c + 1)}{c + 2} : \frac{c^2 + c + 1}{13(c + 2)} = \frac{5(c — 1)(c^2 + c + 1)}{c + 2} \cdot \frac{13(c + 2)}{c^2 + c + 1} = 65(c — 1) \).
Итог: \( 65(c — 1) = 65c — 65 \) при \(c \neq -2\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.