ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 908 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{21a^3b^2 — 6a^2b}{12ab — 4a^2b^3}\)
б) \(\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}\)
в) \(\frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}\)
г) \(\frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b}\)
д) \(\frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2}\)
е) \(\frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}\)
ж) \(\frac{x^2 — 3x}{x^2 + 3x — 18}\)
з) \(\frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 1}\)
и) \(\frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10}\)

Сократить дробь:

а) \( \frac{21a^3 — 6a^2b}{12ab — 42a^2} = \frac{3a^2(7a — 2b)}{6a(2b — 7a)} = -\frac{a}{2} \);

б) \( \frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} = \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \frac{3}{n} \);

в) \( \frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} = \frac{x(x — 2m) + 3(x — 2m)}{x(x + 2m) + 3(x + 2m)} = \frac{x — 2m}{x + 2m} \);

г) \( \frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b} = \frac{2a(4b + 1) — 5(4b + 1)}{4b(a — 2b) + (a — 2b)} = \frac{2a — 5}{a — 2b} \);

д) \( \frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2} = \frac{(4a — b)^2}{(4a — b)(4a + b)} = \frac{4a — b}{4a + b} \);

е) \( \frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} = \frac{(3x — 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x — 5y}{3x + 5y} \);

ж) \( \frac{a^2 — 3a}{a^2 + 3a — 18} = \frac{a(a — 3)}{a^2 — 3a + 6a — 18} = \frac{a(a — 3)}{(a — 3)(a + 6)} = \frac{a}{a + 6} \);

з) \( \frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 1} = \frac{4x^2 — 2x — 6x + 3}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{(2x — 3)(2x — 1)}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{2x — 3}{2x + 1} \);

и) \( \frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10} = \frac{m^2 — m + 5m — 5}{m^2 + 2m + 5m + 10} = \frac{(m + 5)(m — 1)}{(m + 2)(m + 5)} = \frac{m — 1}{m + 2} \);

а) \( \frac{21a^3b^2 — 6a^2b}{12ab — 4a^2b^3} \). Вынесем общие множители: числитель \(21a^3b^2 — 6a^2b = 3a^2b(7ab — 2)\); знаменатель \(12ab — 4a^2b^3 = 4ab(3 — ab^2)\). Сократим общий множитель \(ab\) (при \(a \neq 0\) и \(b \neq 0\)) и получим \( \frac{3a(7ab — 2)}{4(3 — ab^2)} \). Допустимые значения переменных: \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(3 — ab^2 \neq 0\). Формально упростить дальше нельзя, так как \(7ab — 2\) и \(3 — ab^2\) не имеют общих множителей.

б) \( \frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} \). Вынесем общие множители: числитель \(6m^3 + 3mn^2 = 3m(2m^2 + n^2)\); знаменатель \(2m^3n + mn^3 = mn(2m^2 + n^2)\). Сокращаем общий множитель \(m(2m^2 + n^2)\) (при \(m \neq 0\)) и получаем \( \frac{3}{n} \) при \(n \neq 0\). Ограничения: \(m \neq 0\), \(n \neq 0\).

в) \( \frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} \). Сгруппируем с вынесением общего множителя в каждой паре: в числителе \(x(x — 2m) + 3(x — 2m) = (x + 3)(x — 2m)\); в знаменателе \(x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 3)(x + 2m)\). Сократим общий множитель \(x + 3\) (при \(x \neq -3\)) и получим \( \frac{x — 2m}{x + 2m} \) с ограничением \(x \neq -2m\) (исходный знаменатель не равен нулю).

г) \( \frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b} \). Выполним группировку: числитель \(2a(4b + 1) — 5(4b + 1) = (2a — 5)(4b + 1)\); знаменатель \(4b(a — 2b) + (a — 2b) = (a — 2b)(4b + 1)\). Сокращаем общий множитель \(4b + 1\) (при \(4b + 1 \neq 0\)) и получаем \( \frac{2a — 5}{a — 2b} \) при \(a — 2b \neq 0\).

д) \( \frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2} \). Узнаём формулы: числитель \(16a^2 — 8ab + b^2 = (4a — b)^2\); знаменатель \(16a^2 — b^2 = (4a — b)(4a + b)\). Сокращаем \(4a — b\) (при \(4a — b \neq 0\)) и получаем \( \frac{4a — b}{4a + b} \) с дополнительным ограничением \(4a + b \neq 0\) (исходный знаменатель).

е) \( \frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} \). Применим разность квадратов и квадрат суммы: числитель \((3x — 5y)(3x + 5y)\); знаменатель \((3x + 5y)^2\). Сокращаем \(3x + 5y\) (при \(3x + 5y \neq 0\)) и получаем \( \frac{3x — 5y}{3x + 5y} \).

ж) \( \frac{x^2 — 3x}{x^2 + 3x — 18} \). Разложим на множители: числитель \(x(x — 3)\); знаменатель \(x^2 + 3x — 18 = (x — 3)(x + 6)\). Сокращаем \(x — 3\) (при \(x \neq 3\)) и получаем \( \frac{x}{x + 6} \) с ограничением \(x \neq -6\) (чтобы исходный знаменатель не обнулялся).

з) \( \frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 1} \). Факторизуем: числитель по теореме Виета или через дискриминант \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16\), корни \(x = \frac{8 \pm 4}{8} = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\), поэтому \(4x^2 — 8x + 3 = (2x — 1)(2x — 3)\). Знаменатель \(4x^2 — 1 = (2x — 1)(2x + 1)\). Сокращаем \(2x — 1\) (при \(x \neq \frac{1}{2}\)) и получаем \( \frac{2x — 3}{2x + 1} \) при \(x \neq -\frac{1}{2}\).

и) \( \frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10} \). Разложим квадратные трёхчлены: числитель \(m^2 + 4m — 5 = (m — 1)(m + 5)\); знаменатель \(m^2 + 7m + 10 = (m + 2)(m + 5)\). Сокращаем \(m + 5\) (при \(m \neq -5\)) и получаем \( \frac{m — 1}{m + 2} \) при \(m \neq -2\).

Сверка с предложенными ответами: для пунктов б), в), г), д), е), ж), з), и) получены совпадающие упрощённые формы; для пункта а) в предоставленном списке ответов использовано иное исходное выражение, поэтому результат отличается