ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 908 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{21a^3b^2 — 6a^2b}{12ab — 4a^2b^3}\)
б) \(\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}\)
в) \(\frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}\)
г) \(\frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b}\)
д) \(\frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2}\)
е) \(\frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}\)
ж) \(\frac{x^2 — 3x}{x^2 + 3x — 18}\)
з) \(\frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 1}\)
и) \(\frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10}\)

а)
\[
\frac{21a^3 — 6a^2b}{12ab — 42a^2} = \frac{3a^2(7a — 2b)}{6a(2b — 7a)} = -\frac{a}{2};
\]

б)
\[
\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} = \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \frac{3}{n};
\]

в)
\[
\frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} = \frac{x(x — 2m) + 3(x — 2m)}{x(x + 2m) + 3(x + 2m)} = \frac{x — 2m}{x + 2m};
\]

г)
\[
\frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b} = \frac{2a(4b + 1) — 5(4b + 1)}{4b(a — 2b) + (a — 2b)} = \frac{2a — 5}{a — 2b};
\]

д)
\[
\frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2} = \frac{(4a — b)^2}{(4a — b)(4a + b)} = \frac{4a — b}{4a + b};
\]

е)
\[
\frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} = \frac{(3x — 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x — 5y}{3x + 5y};
\]

ж)
\[
\frac{a^2 — 3a}{a^2 + 3a — 18} = \frac{a(a — 3)}{(a — 3)(a + 6)} = \frac{a}{a + 6};
\]

з)
\[
\frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 2x — 6x + 3} = \frac{(2x — 3)(2x — 1)}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{2x — 3}{2x + 1};
\]

и)
\[
\frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10} = \frac{m^2 — m + 5m — 5}{m^2 + 2m + 5m + 10} = \frac{(m + 5)(m — 1)}{(m + 2)(m + 5)} = \frac{m — 1}{m + 2}.
\]

а) \( \frac{21a^3 — 6a^2b}{12ab — 42a^2} = \frac{3a^2(7a — 2b)}{6a(2b — 7a)} = -\frac{a}{2}; \)

Шаг 1: Извлекаем общий множитель:

В числителе \(21a^3 — 6a^2b\) общий множитель — это \(3a^2\). В знаменателе \(12ab — 42a^2\) общий множитель — это \(6a\).

Записываем выражение с вынесенными множителями:

\[
\frac{21a^3 — 6a^2b}{12ab — 42a^2} = \frac{3a^2(7a — 2b)}{6a(2b — 7a)}
\]

Шаг 2: Упрощаем выражение:

Можно сократить \(3a^2\) и \(6a\), оставив:

\[
\frac{3a^2(7a — 2b)}{6a(2b — 7a)} = -\frac{a}{2}
\]

Ответ: \(-\frac{a}{2}\)

б) \( \frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} = \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \frac{3}{n}; \)

Шаг 1: Вынесем общий множитель:

В числителе \(6m^3 + 3mn^2\) общий множитель — это \(3m\), в знаменателе \(2m^3n + mn^3\) общий множитель — это \(mn\).

Записываем выражение с вынесенными множителями:

\[
\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} = \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)}
\]

Шаг 2: Упрощаем выражение:

Можно сократить \(3m\) и \(mn\), оставив:

\[
\frac{3}{n}
\]

Ответ: \( \frac{3}{n} \)

в) \( \frac{x^2 — 2mx + 3x — 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} = \frac{x(x — 2m) + 3(x — 2m)}{x(x + 2m) + 3(x + 2m)} = \frac{x — 2m}{x + 2m}; \)

Шаг 1: Группируем слагаемые:

В числителе: \(x^2 — 2mx + 3x — 6m = x(x — 2m) + 3(x — 2m)\).

В знаменателе: \(x^2 + 2mx + 3x + 6m = x(x + 2m) + 3(x + 2m)\).

Шаг 2: Убираем общие множители:

\[
\frac{x(x — 2m) + 3(x — 2m)}{x(x + 2m) + 3(x + 2m)} = \frac{x — 2m}{x + 2m}
\]

Ответ: \( \frac{x — 2m}{x + 2m} \)

г) \( \frac{8ab + 2a — 20b — 5}{4ab — 8b^2 + a — 2b} = \frac{2a(4b + 1) — 5(4b + 1)}{4b(a — 2b) + (a — 2b)} = \frac{2a — 5}{a — 2b}; \)

Шаг 1: Группируем слагаемые:

В числителе: \(8ab + 2a — 20b — 5 = 2a(4b + 1) — 5(4b + 1)\).

В знаменателе: \(4ab — 8b^2 + a — 2b = (a — 2b)(4b + 1)\).

Шаг 2: Убираем общие множители:

\[
\frac{2a(4b + 1) — 5(4b + 1)}{4b(a — 2b) + (a — 2b)} = \frac{2a — 5}{a — 2b}
\]

Ответ: \( \frac{2a — 5}{a — 2b} \)

д) \( \frac{16a^2 — 8ab + b^2}{16a^2 — b^2} = \frac{(4a — b)^2}{(4a — b)(4a + b)} = \frac{4a — b}{4a + b}; \)

Шаг 1: В числителе применяем формулу полного квадрата:

\[
16a^2 — 8ab + b^2 = (4a — b)^2
\]

Шаг 2: В знаменателе применяем разность квадратов:

\[
16a^2 — b^2 = (4a — b)(4a + b)
\]

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\[
\frac{(4a — b)^2}{(4a — b)(4a + b)} = \frac{4a — b}{4a + b}
\]

Ответ: \( \frac{4a — b}{4a + b} \)

е) \( \frac{9x^2 — 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} = \frac{(3x — 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x — 5y}{3x + 5y}; \)

Шаг 1: Применяем формулу разности квадратов для числителя:

\[
9x^2 — 25y^2 = (3x — 5y)(3x + 5y)
\]

Шаг 2: Применяем формулу для полного квадрата для знаменателя:

\[
9x^2 + 30xy + 25y^2 = (3x + 5y)^2
\]

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\[
\frac{(3x — 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x — 5y}{3x + 5y}
\]

Ответ: \( \frac{3x — 5y}{3x + 5y} \)

ж) \( \frac{a^2 — 3a}{a^2 + 3a — 18} = \frac{a(a — 3)}{(a — 3)(a + 6)} = \frac{a}{a + 6}; \)

Шаг 1: В числителе и знаменателе можно вынести общий множитель:

\[
\frac{a^2 — 3a}{a^2 + 3a — 18} = \frac{a(a — 3)}{(a — 3)(a + 6)}
\]

Шаг 2: Убираем общий множитель \(a — 3\) и получаем:

\[
\frac{a}{a + 6}
\]

Ответ: \( \frac{a}{a + 6} \)

з) \( \frac{4x^2 — 8x + 3}{4x^2 — 2x — 6x + 3} = \frac{(2x — 3)(2x — 1)}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{2x — 3}{2x + 1}; \)

Шаг 1: В числителе и знаменателе групируем слагаемые:

\[
4x^2 — 8x + 3 = (2x — 3)(2x — 1)
\]

\[
4x^2 — 2x — 6x + 3 = (2x — 1)(2x + 1)
\]

Шаг 2: Убираем общие множители:

\[
\frac{(2x — 3)(2x — 1)}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{2x — 3}{2x + 1}
\]

Ответ: \( \frac{2x — 3}{2x + 1} \)

и) \( \frac{m^2 + 4m — 5}{m^2 + 7m + 10} = \frac{m^2 — m + 5m — 5}{m^2 + 2m + 5m + 10} = \frac{(m + 5)(m — 1)}{(m + 2)(m + 5)} = \frac{m — 1}{m + 2}; \)

Шаг 1: Группируем слагаемые в числителе и знаменателе:

\[
m^2 + 4m — 5 = m^2 — m + 5m — 5
\]

\[
m^2 + 7m + 10 = m^2 + 2m + 5m + 10
\]

Шаг 2: Убираем общие множители:

\[
\frac{(m + 5)(m — 1)}{(m + 2)(m + 5)} = \frac{m — 1}{m + 2}
\]

Ответ: \( \frac{m — 1}{m + 2} \)