ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 906 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Разложить на множители:

а) \(x^4 — 25y^2 = (x^2 — 5y)(x^2 + 5y)\);

б) \(4b^2 — 0,01c^6 = (2b — 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)\);

в) \(8a^3 + c^3 = (2a + c)(4a^2 — 2ac + c^2)\);

г) \(x^9 — 27 = (x^3 — 3)(x^6 + 3x^3 + 9)\);

д) \(9ab^2 — 16ac^2 = a(9b^2 — 16c^2) = a(3b — 4c)(3b + 4c)\);

е) \(45x^3y — 20xy^3 = 5xy(9x^2 — 4y^2) = 5xy(3x — 2y)(3x + 2y)\).

а) \(x^4 — 25y^2 = (x^2 — 5y)(x^2 + 5y)\)

Шаг 1: Применение формулы разности квадратов:

Выражение \(x^4 — 25y^2\) можно представить как разность квадратов. Мы знаем, что \(x^4 = (x^2)^2\) и \(25y^2 = (5y)^2\). Используем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = x^2\), а \(b = 5y\).

Шаг 2: Разложение на множители:

Применяем формулу разности квадратов для \(x^4 — 25y^2\):

\[
x^4 — 25y^2 = (x^2)^2 — (5y)^2 = (x^2 — 5y)(x^2 + 5y)
\]

Шаг 3: Проверка правильности разложения:

Чтобы убедиться в правильности разложения, раскроем скобки:

\[
(x^2 — 5y)(x^2 + 5y) = x^2(x^2) + x^2(5y) — 5y(x^2) — 5y(5y)
\]

\[
= x^4 + 5x^2y — 5x^2y — 25y^2
\]

Как видим, \(5x^2y — 5x^2y\) сокращается, и остаётся:

\[
x^4 — 25y^2
\]

Ответ: \((x^2 — 5y)(x^2 + 5y)\)

б) \(4b^2 — 0,01c^6 = (2b — 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)\)

Шаг 1: Применение формулы разности квадратов:

Здесь \(4b^2 = (2b)^2\) и \(0,01c^6 = (0,1c^3)^2\), что является разностью квадратов. Мы применяем формулу разности квадратов, которая выглядит как: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 2b\), а \(b = 0,1c^3\).

Шаг 2: Разложение на множители:

Используем формулу разности квадратов для выражения \(4b^2 — 0,01c^6\):

\[
4b^2 — 0,01c^6 = (2b)^2 — (0,1c^3)^2 = (2b — 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)
\]

Шаг 3: Проверка разложения:

Раскроем скобки и убедимся, что всё правильно:

\[
(2b — 0,1c^3)(2b + 0,1c^3) = (2b)^2 + 2b(0,1c^3) — 0,1c^3(2b) — (0,1c^3)^2
\]

\[
= 4b^2 — 0,01c^6
\]

Ответ: \((2b — 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)\)

в) \(8a^3 + c^3 = (2a + c)(4a^2 — 2ac + c^2)\)

Шаг 1: Применение формулы суммы кубов:

Здесь мы имеем сумму кубов, так как \(8a^3 = (2a)^3\) и \(c^3 = c^3\). Формула для суммы кубов выглядит так: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), где \(a = 2a\), а \(b = c\).

Шаг 2: Разложение на множители:

Применяем формулу для суммы кубов:

\[
8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3 = (2a + c)((2a)^2 — 2a \cdot c + c^2)
\]

Шаг 3: Упрощение выражения:

Теперь упрощаем выражение внутри скобок:

\[
(2a + c)(4a^2 — 2ac + c^2)
\]

Ответ: \((2a + c)(4a^2 — 2ac + c^2)\)

г) \(x^9 — 27 = (x^3 — 3)(x^6 + 3x^3 + 9)\)

Шаг 1: Применение формулы разности кубов:

Это разность кубов. Формула разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = x^3\) и \(b = 3\).

Шаг 2: Разложение на множители:

\[
x^9 — 27 = (x^3)^3 — 3^3 = (x^3 — 3)(x^6 + 3x^3 + 9)
\]

Ответ: \((x^3 — 3)(x^6 + 3x^3 + 9)\)

д) \(9ab^2 — 16ac^2 = a(9b^2 — 16c^2) = a(3b — 4c)(3b + 4c)\)

Шаг 1: Вынесение общего множителя \(a\):

Общий множитель для всех членов — это \(a\). Вынесем его из всех слагаемых:

\[
9ab^2 — 16ac^2 = a(9b^2 — 16c^2)
\]

Шаг 2: Применение разности квадратов:

Теперь у нас есть разность квадратов \(9b^2 — 16c^2\), и мы применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 3b\) и \(b = 4c\).

\[
9b^2 — 16c^2 = (3b)^2 — (4c)^2 = (3b — 4c)(3b + 4c)
\]

Ответ: \(a(3b — 4c)(3b + 4c)\)

е) \(45x^3y — 20xy^3 = 5xy(9x^2 — 4y^2) = 5xy(3x — 2y)(3x + 2y)\)

Шаг 1: Вынесение общего множителя \(5xy\):

Общий множитель для выражений \(45x^3y\) и \(20xy^3\) — это \(5xy\), который мы выносим за скобки:

\[
45x^3y — 20xy^3 = 5xy(9x^2 — 4y^2)
\]

Шаг 2: Применение разности квадратов:

Теперь у нас есть разность квадратов \(9x^2 — 4y^2\), и мы применяем формулу разности квадратов:

\[
9x^2 — 4y^2 = (3x)^2 — (2y)^2 = (3x — 2y)(3x + 2y)
\]

Ответ: \(5xy(3x — 2y)(3x + 2y)\)