ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 891 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (хn), если х2 = -32 и q = -1/2.

Дана прогрессия:
\[x_2 = -32, \, q = -\frac{1}{2};\]

1) Найдем первый член:
\[
x_1 = \frac{x_2}{q} = -32 \cdot \left(-2\right) = 64;
\]

2) Сумма десяти членов:
\[
S_{10} = \frac{x_1 \left(1 — q^{10}\right)}{1 — q} = \frac{64 \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 + \frac{1}{2}};
\]

\[
S_{10} = 64 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{3 \cdot 8} = 42 \frac{5}{8};
\]

Ответ: \(42 \, \frac{5}{8}\).

Дана прогрессия:

Даны:

• \( x_2 = -32 \);
• \( q = -\frac{1}{2} \);

1) Найдём первый член прогрессии \( x_1 \):

Для нахождения первого члена прогрессии \( x_1 \) используем формулу для нахождения \( n \)-го члена геометрической прогрессии:

\[
x_n = x_1 \cdot q^{n-1}
\]

Таким образом, для \( x_2 \) мы можем выразить \( x_1 \) через \( x_2 \) и \( q \):

\[
x_2 = x_1 \cdot q^{1} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{x_2}{q}
\]

Подставляем известные значения \( x_2 = -32 \) и \( q = -\frac{1}{2} \):

\[
x_1 = \frac{-32}{-\frac{1}{2}} = -32 \cdot \left(-2\right) = 64
\]

Таким образом, первый член прогрессии \( x_1 = 64 \).

2) Найдём сумму десяти первых членов прогрессии \( S_{10} \):

Для нахождения суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии используем формулу:

\[
S_n = \frac{x_1 \left(1 — q^n\right)}{1 — q}
\]

Подставляем \( n = 10 \), \( x_1 = 64 \), и \( q = -\frac{1}{2} \) в формулу для суммы:

\[
S_{10} = \frac{64 \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 + \frac{1}{2}}
\]

Шаг 1: Вычислим \( \left(-\frac{1}{2}\right)^{10} \). Поскольку степень чётная, результат будет положительным:

\[
\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}
\]

Шаг 2: Теперь подставляем это в выражение для суммы:

\[
S_{10} = \frac{64 \left(1 — \frac{1}{1024}\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}
\]

Шаг 3: Упростим дробь:

\[
S_{10} = 64 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1023}{1024}
\]

Шаг 4: Умножим числители и знаменатели:

\[
S_{10} = \frac{64 \cdot 1023}{3 \cdot 1024}
\]

Шаг 5: Упростим дробь:

\[
S_{10} = \frac{1023}{3 \cdot 8} = \frac{1023}{24}
\]

Шаг 6: Преобразуем в смешанное число:

\[
\frac{1023}{24} = 42 \frac{5}{8}
\]

Ответ: \( S_{10} = 42 \, \frac{5}{8} \).