ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 884 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

a)
\[
\frac{\sqrt{18 — a} \cdot \sqrt{18 + 3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5};
\]

б)
\[
\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{24} — \sqrt{7} — \sqrt{24}} = \sqrt{0,4}.
\]

Доказать равенство:

а) \( \frac{\sqrt{\sqrt 18 — 3} \cdot \sqrt{\sqrt 18 + 3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1.5}; \)

\( \sqrt{(\sqrt 18 — 3)(\sqrt 18 + 3)} = \sqrt{6 \cdot 1.5}; \)

\( \sqrt{18 — 9} = \sqrt{9}, \quad \sqrt{9} = \sqrt{9}; \)

Равенство доказано.

б) \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 — \sqrt{24}}} = \sqrt{0.4}; \)

\( \sqrt{(7 + \sqrt{24})(7 — \sqrt{24})} = \sqrt{10 : 0.4}; \)

\( \sqrt{49 — 24} = \sqrt{25}, \quad \sqrt{25} = \sqrt{25}; \)

Равенство доказано.

а) Доказать равенство \( \frac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{1.5} \)

1. Область определения и знаки подкоренных выражений. Так как \( \sqrt{18}\approx 4.2426 \), то \( \sqrt{18}-3>0 \) и \( \sqrt{18}+3>0 \); следовательно, корни \( \sqrt{\sqrt{18}-3} \) и \( \sqrt{\sqrt{18}+3} \) корректны и неотрицательны. Также \( \sqrt{6}>0 \). Это позволяет применять свойства корней для неотрицательных величин.

2. Сведение произведения корней к одному корню. По свойству \( \sqrt{u}\cdot\sqrt{v}=\sqrt{uv} \) при \( u\ge 0 \) и \( v\ge 0 \) получаем \( \sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}=\sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)} \).

3. Применение формулы разности квадратов под корнем. Используем \( (x-y)(x+y)=x^2-y^2 \) при \( x=\sqrt{18} \) и \( y=3 \): \( (\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)=(\sqrt{18})^2-3^2=18-9=9 \). Следовательно, числитель становится \( \sqrt{9} \).

4. Переход к одному корню в дроби. По правилу \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \) при \( a\ge 0 \), \( b>0 \) имеем \( \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{9}{6}} \).

5. Сокращение дроби под корнем и эквивалентные записи. \( \frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1.5 \). Значит, \( \sqrt{\frac{9}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{1.5} \). Получаем тождество \( \frac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{1.5} \).

6. Альтернативная проверка равенства через возведение в квадрат обеих частей. Левая часть неотрицательна (отношение неотрицательных корней), правая часть \( \sqrt{1.5}\ge 0 \). Возведём обе части в квадрат: левая даёт \( \frac{(\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3})^2}{6}=\frac{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \); правая даёт \( 1.5=\frac{3}{2} \). Равенство квадратов при неотрицательных сторонах подтверждает исходное тождество.

Вывод: равенство доказано.

б) Доказать равенство \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\sqrt{0.4} \)

1. Область определения и знаки подкоренных выражений. Так как \( \sqrt{24}\approx 4.89898 \), то \( 7-\sqrt{24}>0 \) и \( 7+\sqrt{24}>0 \). Следовательно, оба корня \( \sqrt{7\pm\sqrt{24}} \) определены и положительны; знаменатель не равен нулю. Числитель \( \sqrt{10}>0 \).

2. Сведение произведения корней в знаменателе к одному корню. По свойству \( \sqrt{u}\cdot\sqrt{v}=\sqrt{uv} \) при \( u,v\ge 0 \) имеем \( \sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})} \).

3. Применение формулы разности квадратов в подкоренном выражении. \( (7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})=7^2-(\sqrt{24})^2=49-24=25 \). Значит, знаменатель равен \( \sqrt{25} \).

4. Приведение дроби под один корень. \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{10}{25}} \) по правилу деления корней при положительном знаменателе.

5. Сокращение дроби под корнем и эквивалентные записи. \( \frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0.4 \). Следовательно, \( \sqrt{\frac{10}{25}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{0.4} \). Получаем тождество \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\sqrt{0.4} \).

6. Альтернативная проверка равенства через возведение в квадрат обеих частей. Обе части неотрицательны. Квадрат левой части: \( \frac{10}{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5} \). Квадрат правой части: \( 0.4=\frac{2}{5} \). Равенство квадратов при неотрицательных сторонах подтверждает исходное тождество.

Вывод: равенство доказано.