ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1081 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при положительных значениях а, b и c верно неравенство

Доказать неравенство:
\[
D = \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27;
\]

\[
(n — 1)^2 \geq 0, \quad n^2 — 2n + 1 \geq 0, \quad n^2 + n + 1 \geq 3n;
\]

\[
D \geq \frac{3a \cdot 3b \cdot 3c}{abc}, \quad D \geq 3 \cdot 3 \cdot 3, \quad D \geq 27;
\]

Что и требовалось доказать.

Решение системы:

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19
\end{cases}
\]

Шаг 1: Выразим \(x\) через \(y\) и \(z\):

Из первого уравнения: \(x + y + z = 14\), получаем:

\[
x = 14 — y — z, \quad x \in \mathbb{N}.
\]

Шаг 2: Подставим \(x = 14 — y — z\) во второе уравнение:

Из второго уравнения: \(x + yz = 19\), подставляем \(x = 14 — y — z\):

\[
14 — y — z + yz = 19 \quad \Rightarrow \quad yz — y — z + 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad (y — 1)(z — 1) = 6.
\]

Шаг 3: Решим уравнение \((y — 1)(z — 1) = 6\):

Мы рассматриваем все возможные целые значения для \((y — 1)\) и \((z — 1)\), которые в произведении дают 6. Возможные пары значений:

• \(y — 1 = 6, \quad z — 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 7, \quad z = 2\)
• \(y — 1 = 3, \quad z — 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 4, \quad z = 3\)
• \(y — 1 = 2, \quad z — 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 3, \quad z = 4\)
• \(y — 1 = 1, \quad z — 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 2, \quad z = 7\)

Шаг 4: Для каждой пары \((y, z)\) находим \(x\):

1. Когда \(y = 7\) и \(z = 2\):

\[
x = 14 — 7 — 2 = 5.
\]

2. Когда \(y = 4\) и \(z = 3\):

\[
x = 14 — 4 — 3 = 7.
\]

3. Когда \(y = 3\) и \(z = 4\):

\[
x = 14 — 3 — 4 = 7.
\]

4. Когда \(y = 2\) и \(z = 7\):

\[
x = 14 — 2 — 7 = 5.
\]

Ответ:

\[
(5; 7; 2); \quad (7; 4; 3); \quad (7; 3; 4); \quad (5; 2; 7).
\]