ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1081 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при положительных значениях а, b и c верно неравенство

\[
\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27;
\]

Доказать неравенство:
\[
D = \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27;
\]

\[
(n — 1)^2 \geq 0, \quad n^2 — 2n + 1 \geq 0, \quad n^2 + n + 1 \geq 3n;
\]

\[
D \geq \frac{3a \cdot 3b \cdot 3c}{abc}, \quad D \geq 3 \cdot 3 \cdot 3, \quad D \geq 27;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при положительных значениях \( a \), \( b \) и \( c \) верно неравенство:

\[
D = \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27;
\]

Шаг 1: Начнем с рассмотрения каждого множителя в числителе: \( a^2 + a + 1 \), \( b^2 + b + 1 \) и \( c^2 + c + 1 \). Мы применим неравенство арифметического и геометрического среднего (AM-GM) для каждого из этих выражений.

Неравенство AM-GM для трех положительных чисел \( x_1, x_2, x_3 \) гласит, что:

\[
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3},
\]

где равенство наступает только в случае, если \( x_1 = x_2 = x_3 \).

Применим это неравенство к выражению \( a^2 + a + 1 \). Мы видим, что это сумма трех членов, и можем применить AM-GM:

\[
\frac{a^2 + a + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot 1} = \sqrt[3]{a^3} = a,
\]

откуда получаем:

\[
a^2 + a + 1 \geq 3a.
\]

Аналогично для выражений \( b^2 + b + 1 \) и \( c^2 + c + 1 \) получаем:

\[
b^2 + b + 1 \geq 3b \quad \text{и} \quad c^2 + c + 1 \geq 3c.
\]

Шаг 2: Теперь подставим полученные неравенства в выражение для \( D \):

\[
D = \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc}.
\]

Используя неравенства, которые мы получили для каждого множителя, получаем:

\[
D \geq \frac{(3a)(3b)(3c)}{abc}.
\]

Теперь упростим правую часть этого выражения:

\[
D \geq \frac{27abc}{abc}.
\]

Мы видим, что \( abc \) сокращается в числителе и знаменателе, и остаётся:

\[
D \geq 27.
\]

Шаг 3: Таким образом, мы доказали, что при положительных значениях \( a \), \( b \) и \( c \) выполняется неравенство:

Ответ: \( D \geq 27 \), что и требовалось доказать.