ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1080 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите в натуральных числах систему уравнений

система

х + у + z = 14,

х + yz = 19.

Решить систему:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[
x = 14 — y — z, \quad x \in \mathbb{N};
\]

2) Второе уравнение:
\[
14 — y — z + yz = 19;
yz — y — z + 1 = 6;\]

\[y(z — 1) — (z — 1) = 6;
(y — 1)(z — 1) = 6;
\]

3) Первое решение:
\[
y — 1 = 6, \quad y = 7;
z — 1 = 1, \quad z = 2;
x = 14 — 9 = 5;
\]

4) Второе решение:
\[
y — 1 = 3, \quad y = 4;
z — 1 = 2, \quad z = 3;
x = 14 — 7 = 7;
\]

5) Третье решение:
\[
y — 1 = 2, \quad y = 3;
z — 1 = 3, \quad z = 4;
x = 14 — 7 = 7;
\]

6) Четвёртое решение:
\[
y — 1 = 1, \quad y = 2;
z — 1 = 6, \quad z = 7;
x = 14 — 2 — 7 = 5;
\]

Ответ:
\[
(5; 7; 2); \; (7; 4; 3); \; (7; 3; 4); \; (5; 2; 7).
\]

Решение системы:

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19
\end{cases}
\]

Шаг 1: Выразим \(x\) через \(y\) и \(z\):

Из первого уравнения: \(x + y + z = 14\), получаем:

\[
x = 14 — y — z, \quad x \in \mathbb{N}.
\]

Шаг 2: Подставим \(x = 14 — y — z\) во второе уравнение:

Из второго уравнения: \(x + yz = 19\), подставляем \(x = 14 — y — z\):

\[
14 — y — z + yz = 19 \quad \Rightarrow \quad yz — y — z + 1 =\]

\[ 6 \quad \Rightarrow \quad (y — 1)(z — 1) = 6.
\]

Шаг 3: Решим уравнение \((y — 1)(z — 1) = 6\):

Мы рассматриваем все возможные целые значения для \((y — 1)\) и \((z — 1)\), которые в произведении дают 6. Возможные пары значений:

• \(y — 1 = 6, \quad z — 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 7, \quad z = 2\)
• \(y — 1 = 3, \quad z — 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 4, \quad z = 3\)
• \(y — 1 = 2, \quad z — 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 3, \quad z = 4\)
• \(y — 1 = 1, \quad z — 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 2, \quad z = 7\)

Шаг 4: Для каждой пары \((y, z)\) находим \(x\):

1. Когда \(y = 7\) и \(z = 2\):

\[
x = 14 — 7 — 2 = 5.
\]

2. Когда \(y = 4\) и \(z = 3\):

\[
x = 14 — 4 — 3 = 7.
\]

3. Когда \(y = 3\) и \(z = 4\):

\[
x = 14 — 3 — 4 = 7.
\]

4. Когда \(y = 2\) и \(z = 7\):

\[
x = 14 — 2 — 7 = 5.
\]

Ответ:

\[
(5; 7; 2); \quad (7; 4; 3); \quad (7; 3; 4); \quad (5; 2; 7).
\]