ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1080 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите в натуральных числах систему уравнений

система

х + у + z = 14,

х + yz = 19.

Решить систему:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[
x = 14 — y — z, \quad x \in \mathbb{N};
\]

2) Второе уравнение:
\[
14 — y — z + yz = 19;\]

\[yz — y — z + 1 = 6;\]

\[y(z — 1) — (z — 1) = 6;\]

\[(y — 1)(z — 1) = 6;
\]

3) Первое решение:
\[
y — 1 = 6, \quad y = 7;\]

\[z — 1 = 1, \quad z = 2;\]

\[x = 14 — 9 = 5;
\]

4) Второе решение:
\[
y — 1 = 3, \quad y = 4;\]

\[z — 1 = 2, \quad z = 3;\]

\[x = 14 — 7 = 7;
\]

5) Третье решение:
\[
y — 1 = 2, \quad y = 3;\]

\[z — 1 = 3, \quad z = 4;\]

\[x = 14 — 7 = 7;
\]

6) Четвёртое решение:
\[
y — 1 = 1, \quad y = 2;\]

\[z — 1 = 6, \quad z = 7;\]

\[x = 14 — 2 — 7 = 5;
\]

Ответ:
\[
(5; 7; 2); \; (7; 4; 3); \; (7; 3; 4); \; (5; 2; 7).
\]

Задача: Решите в натуральных числах систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19
\end{cases}
\]

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( x \):

Итак, из уравнения \( x + y + z = 14 \), можем выразить \( x \) следующим образом:

\( x = 14 — y — z \)

Таким образом, \( x \) выражено через \( y \) и \( z \), и мы знаем, что \( x \) должно быть натуральным числом. Теперь подставим это значение в второе уравнение.

Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( x + yz = 19 \). Подставляем \( x = 14 — y — z \) в это уравнение:

\( (14 — y — z) + yz = 19 \)

Упростим это выражение:

\( 14 — y — z + yz = 19 \)

Переносим все элементы на одну сторону:

\( yz — y — z + 14 = 19 \)

Теперь получаем:

\( yz — y — z + 1 = 6 \)

Шаг 3: Группируем выражения для удобства:

Приводим выражение к виду, который можно будет факторизовать:

\( y(z — 1) — (z — 1) = 6 \)

Теперь вынесем общий множитель \( (z — 1) \):

\( (y — 1)(z — 1) = 6 \)

Теперь мы имеем выражение \( (y — 1)(z — 1) = 6 \), где \( y — 1 \) и \( z — 1 \) должны быть такими числами, произведение которых равно 6.

Шаг 4: Рассмотрим все возможные разложения числа 6 на два множителя в натуральных числах:

Пусть \( (y — 1)(z — 1) = 6 \). Возможные разложения на множители:

• \( y — 1 = 6 \) и \( z — 1 = 1 \), отсюда \( y = 7 \), \( z = 2 \);
• \( y — 1 = 3 \) и \( z — 1 = 2 \), отсюда \( y = 4 \), \( z = 3 \);
• \( y — 1 = 2 \) и \( z — 1 = 3 \), отсюда \( y = 3 \), \( z = 4 \);
• \( y — 1 = 1 \) и \( z — 1 = 6 \), отсюда \( y = 2 \), \( z = 7 \);

Теперь подставим каждую пару значений для \( y \) и \( z \) в выражение для \( x = 14 — y — z \).

Шаг 5: Подставляем возможные значения для \( y \) и \( z \) в выражение для \( x \):

• Для \( y = 7 \) и \( z = 2 \): \( x = 14 — 7 — 2 = 5 \);
• Для \( y = 4 \) и \( z = 3 \): \( x = 14 — 4 — 3 = 7 \);
• Для \( y = 3 \) и \( z = 4 \): \( x = 14 — 3 — 4 = 7 \);
• Для \( y = 2 \) и \( z = 7 \): \( x = 14 — 2 — 7 = 5 \);

Шаг 6: Проверяем полученные решения:

Полученные решения для \( (x, y, z) \) следующие:

• \( (x, y, z) = (5, 7, 2) \);
• \( (x, y, z) = (7, 4, 3) \);
• \( (x, y, z) = (7, 3, 4) \);
• \( (x, y, z) = (5, 2, 7) \);

Ответ: \( (5; 7; 2), (7; 4; 3), (7; 3; 4), (5; 2; 7) \).