Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1077 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если х2 + у2 + z2 = ху + yz + zx, то х = у = z.
Доказать равенство:
\[
x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx;
\]
\[
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2xy + 2yz + 2zx;
\]
\[
x^2 — 2xy + y^2 + y^2 — 2yz + z^2 + x^2 — 2xz + z^2 = 0;
\]
\[
(x — y)^2 + (y — z)^2 + (x — z)^2 = 0, \quad x — y = x — z = 0;
\]
\[
x = y, \quad x = z, \quad x = y = z;
\]
Что и требовалось доказать.
Задача: Укажите, что если \( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \), то \( x = y = z \).
Доказательство:
1. Начнем с исходного уравнения:
\( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \)
2. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
\( x^2 + y^2 + z^2 — xy — yz — zx = 0 \)
3. Умножаем обе стороны на 2 для удобства, чтобы привести выражения к одинаковому виду:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 — 2xy — 2yz — 2zx = 0 \)
4. Теперь перепишем левую часть, группируя подобные члены:
\( (x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (x^2 — 2xz + z^2) = 0 \)
5. Преобразуем каждый из этих выражений как квадраты разностей:
\( (x — y)^2 + (y — z)^2 + (x — z)^2 = 0 \)
6. Поскольку сумма квадратов не может быть отрицательной, то каждый из квадратов должен быть равен нулю:
\( (x — y)^2 = 0, \quad (y — z)^2 = 0, \quad (x — z)^2 = 0 \)
7. Следовательно, \( x = y \), \( y = z \), и \( x = z \). Таким образом, \( x = y = z \).
Ответ: \( x = y = z \),
что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.