ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1077 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если х2 + у2 + z2 = ху + yz + zx, то х = у = z.

Доказать равенство:
\[
x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx;
\]

\[
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2xy + 2yz + 2zx;
\]

\[
x^2 — 2xy + y^2 + y^2 — 2yz + z^2 + x^2 — 2xz + z^2 = 0;
\]

\[
(x — y)^2 + (y — z)^2 + (x — z)^2 = 0, \quad x — y = x — z = 0;
\]

\[
x = y, \quad x = z, \quad x = y = z;
\]

Что и требовалось доказать.

Дано равенство:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx.
\]

Шаг 1: Умножим обе стороны на 2:

\[
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2xy + 2yz + 2zx.
\]

Шаг 2: Перепишем уравнение в виде разности квадратов:

\[
x^2 — 2xy + y^2 + y^2 — 2yz + z^2 + x^2 — 2xz + z^2 = 0.
\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[
(x — y)^2 + (y — z)^2 + (x — z)^2 = 0.
\]

Шаг 4: Поскольку сумма квадратов не может быть отрицательной, то:

\[
(x — y)^2 = 0, \quad (y — z)^2 = 0, \quad (x — z)^2 = 0.
\]

Шаг 5: Следовательно,:

\[
x — y = 0, \quad y — z = 0, \quad x — z = 0.
\]

Ответ:

\[
x = y, \quad y = z, \quad x = y = z.
\]

Что и требовалось доказать.