ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1076 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) корень 3 степени (5 (корень 2) + 7) — корень 3 степени (5 (корень 2) — 7);

б) корень 3 степени (2 + (корень 5)) + корень 3 степени (2 — (корень 5)).

Упростить выражение:

a)
\[
\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} — \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7} =
\]

\[
= \sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} — \sqrt[3]{2\sqrt{2} — 6 + 3\sqrt{2} — 1} =
\]

\[
= \sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} — \sqrt[3]{(\sqrt{2} — 1)^3} = 1 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = 2;
\]

б)
\[
\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 — \sqrt{5}} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 + 8\sqrt{5})} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 — 8\sqrt{5})} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1 + 3\sqrt{5} + 15 + 5\sqrt{5}}{8}} + \sqrt[3]{\frac{1 — 3\sqrt{5} + 15 — 5\sqrt{5}}{8}} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{(1 + \sqrt{5})^3}{2^3}} + \sqrt[3]{\frac{(1 — \sqrt{5})^3}{2^3}} =
\]

\[
= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} = 1;
\]

Упростим выражения:

a)

Дано выражение:

\[
\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} — \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7}.
\]

Шаг 1: Упростим выражение, разложив его:

\[
= \sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} — \sqrt[3]{2\sqrt{2} — 6 + 3\sqrt{2} — 1}.
\]

Шаг 2: Перепишем выражения в виде кубов:

\[
= \sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} — \sqrt[3]{(\sqrt{2} — 1)^3}.
\]

Шаг 3: Извлекаем кубический корень:

\[
= 1 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = 2.
\]

Ответ:

\[
2.
\]

b)

Дано выражение:

\[
\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 — \sqrt{5}}.
\]

Шаг 1: Разделим выражение и упростим:

\[
= \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 + 8\sqrt{5})} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 — 8\sqrt{5})}.
\]

Шаг 2: Перепишем выражения в виде кубов:

\[
= \sqrt[3]{\frac{1 + 3\sqrt{5} + 15 + 5\sqrt{5}}{8}} + \sqrt[3]{\frac{1 — 3\sqrt{5} + 15 — 5\sqrt{5}}{8}}.
\]

Шаг 3: Снова представим выражение в виде кубов:

\[
= \sqrt[3]{\frac{(1 + \sqrt{5})^3}{2^3}} + \sqrt[3]{\frac{(1 — \sqrt{5})^3}{2^3}}.
\]

Шаг 4: Извлекаем кубический корень:

\[
= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} = 1.
\]

Ответ:

\[
1.
\]