ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1076 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) корень 3 степени (5 (корень 2) + 7) — корень 3 степени (5 (корень 2) — 7);

б) корень 3 степени (2 + (корень 5)) + корень 3 степени (2 — (корень 5)).

Упростить выражение:

a)
\[
\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} — \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7} =
\]

\[
= \sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} — \sqrt[3]{2\sqrt{2} — 6 + 3\sqrt{2} — 1} =
\]

\[
= \sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} — \sqrt[3]{(\sqrt{2} — 1)^3} = 1 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = 2;
\]

б)
\[
\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 — \sqrt{5}} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 + 8\sqrt{5})} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 — 8\sqrt{5})} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1 + 3\sqrt{5} + 15 + 5\sqrt{5}}{8}} + \sqrt[3]{\frac{1 — 3\sqrt{5} + 15 — 5\sqrt{5}}{8}} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{(1 + \sqrt{5})^3}{2^3}} + \sqrt[3]{\frac{(1 — \sqrt{5})^3}{2^3}} =
\]

\[
= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} = 1;
\]

Упростите выражение:

a) \( \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} — \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7} \):

1. Рассмотрим два кубических корня по отдельности:

Выражение: \( \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} — \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7} \).

2. Используем алгебраические преобразования для каждого корня. Начнем с разложения на множители:

\( 5\sqrt{2} + 7 \) и \( 5\sqrt{2} — 7 \).

Мы видим, что это выражения можно привести к более компактным формулам, при помощи разложения на множители или распаковки. Однако, легче воспользоваться свойствами кубического корня и упрощать его по ходу преобразования. Но, на данном этапе, стоит заметить, что:

\( \sqrt[3]{(a + b)^3} = a + b \). И мы можем решить выражение через приведение к кубу.

3. Преобразуем каждую часть:

Первое выражение: \( \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \). Пишем: \( \sqrt[3]{1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2}} \). Здесь мы сделали преобразование и упрощение выражения под кубическим корнем.

Аналогично для второго корня: \( \sqrt[3]{5\sqrt{2} — 7} \), преобразуем его в: \( \sqrt[3]{2\sqrt{2} — 6 + 3\sqrt{2} — 1} \).

4. Теперь преобразуем в кубы:

Упрощаем обе части: \( \sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} \) и \( \sqrt[3]{(\sqrt{2} — 1)^3} \).

5. Используем свойства кубов, получаем: \( 1 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = 2 \).

Ответ: 2

б) \( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 — \sqrt{5}} \):

1. Анализируем выражение: \( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 — \sqrt{5}} \).

Здесь также используем свойства кубических корней. Преобразуем каждую часть по аналогии с первым примером.

2. Приводим корни к удобному виду для дальнейших вычислений:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 + 8\sqrt{5})} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}(16 — 8\sqrt{5})} \).

3. Дальнейшее упрощение: Проводим более глубокое упрощение внутри каждого куба:

\( \sqrt[3]{\frac{1 + 3\sqrt{5} + 15 + 5\sqrt{5}}{8}} + \sqrt[3]{\frac{1 — 3\sqrt{5} + 15 — 5\sqrt{5}}{8}} \).

4. Теперь, используя кубические корни и их свойства:

\( \sqrt[3]{\frac{(1 + \sqrt{5})^3}{2^3}} + \sqrt[3]{\frac{(1 — \sqrt{5})^3}{2^3}} \).

5. Выражаем в более простой форме:

\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} = 1 \).

Ответ: 1