Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1075 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном значении n > 1 верно неравенство
Доказать неравенство:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1;
\]
1) Первое неравенство:
\[
\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1, \quad \ldots, \quad \frac{2n — 1}{2n} < 1;
\]
\[
\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1;
\]
2) Второе неравенство:
\[
\frac{3}{2} > 1, \quad \frac{5}{3} > 1, \quad \ldots, \quad \frac{2n — 1}{n} > 1;\]
\[
\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n} > \frac{1}{2};
\]
\[
\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} > \frac{1}{2}.
\]
Что и требовалось доказать.
Задано неравенство:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.
\]
Нам нужно доказать, что для всех натуральных \( n \) выполняется неравенство:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n} < 1, \quad \text{где} \quad A_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}.
\]
Шаг 1: Доказательство левой части неравенства \( \frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n} \)
Каждый множитель \( \frac{2k — 1}{2k} \) в выражении для \( A_n \) больше \( \frac{1}{2} \), так как:
\[
\frac{2k — 1}{2k} = 1 — \frac{1}{2k} > \frac{1}{2}.
\]
Это справедливо для всех множителей, так как \( \frac{2k — 1}{2k} \) — это дробь, где числитель всегда меньше знаменателя на 1.
Таким образом, для всех \( k \) от 1 до \( n \) выполняется:
\[
\frac{1}{2} < \frac{2k — 1}{2k} < 1.
\]
Умножая все эти неравенства, получаем:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^n < A_n < 1.
\]
Теперь извлекаем \( n \)-й корень из всех частей неравенства:
\[
\sqrt[n]{\left(\frac{1}{2}\right)^n} < \sqrt[n]{A_n} < \sqrt[n]{1}.
\]
Это упрощается до:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n} < 1.
\]
Таким образом, мы доказали левую часть неравенства:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n}.
\]
Шаг 2: Доказательство правой части неравенства \( \sqrt[n]{A_n} < 1 \)
Поскольку каждый множитель \( \frac{2k — 1}{2k} \) в выражении для \( A_n \) меньше 1, мы можем записать:
\[
A_n < 1.
\]
Следовательно, извлекая \( n \)-й корень из обеих частей неравенства, получаем:
\[
\sqrt[n]{A_n} < 1.
\]
Таким образом, мы доказали правую часть неравенства:
\[
\sqrt[n]{A_n} < 1.
\]
Заключение:
Мы доказали, что:
\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n} < 1,
\]
что и требовалось доказать.
Ответ:
\[
\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} > \frac{1}{2}.
\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.