ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1073 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна -3. Найдите эти числа.

Дана прогрессия:
\[
b_1 + b_2 + b_3 = -3;
\]

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 = -3;
\]

\[
b_1(1 + q + q^2) = -3;
\]

\[
q^2 + q + 1 = -\frac{3}{b_1};
\]

\[
q^2 + q + \left(\frac{3}{b_1} + 1\right) = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4\left(\frac{3}{b_1} + 1\right) \geq 0;
\]

\[
1 — \frac{12}{b_1} — 4 \geq 0, \quad \frac{12}{b_1} \leq -3;
\]

\[
12 + 3b_1 \leq 0, \quad -4 \leq b_1 \leq 0;
\]

1) Если \( b_1 = -1 \), тогда:
\[
q^2 + q + 1 = 3, \quad q^2 + q — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }
\]

\[
q_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad q_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2;
\]

2) Если \( b_1 = -2 \), тогда:
\[
q^2 + q + 1 = 1.5, \quad q^2 + q — 0.5 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 1 + 2 = 3 \neq k^2.
\]

3) Если \( b_1 = -3 \), тогда:
\[
q^2 + q + 1 = 1, \quad q^2 + q = 0;
\]

\[
q(q + 1) = 0, \quad q_1 = 0, \quad q_2 = -1;
\]

4) Если \( b_1 = -4 \), тогда:
\[
q^2 + q + 1 = 0.75, \quad q^2 + q + 0.25 = 0;
\]

\[
q^2 + q + \frac{1}{4} = 0, \quad \left(q + \frac{1}{2}\right)^2 = 0, \quad q = -\frac{1}{2};
\]

Ответ:
\[
-1; \, 2; \, -4; \, -1; \, -1; \, -1; \, -3; \, 3; \, -3; \, -4; \, 2; \, -1.
\]

Задана прогрессия:

\[
b_1 + b_2 + b_3 = -3;
\]

Мы знаем, что элементы прогрессии \( b_1 \), \( b_2 \), и \( b_3 \) могут быть выражены через первый элемент прогрессии и общее соотношение \( q \), которое является знаменателем прогрессии. Запишем это в следующем виде:

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 = -3;
\]

Теперь вынесем \( b_1 \) за скобки:

\[
b_1(1 + q + q^2) = -3;
\]

Итак, мы получили выражение для \( 1 + q + q^2 \) в зависимости от \( b_1 \):

\[
1 + q + q^2 = -\frac{3}{b_1};
\]

Далее преобразуем уравнение для \( q \):

\[
q^2 + q + \left(\frac{3}{b_1} + 1\right) = 0;
\]

Решим это квадратное уравнение по отношению к \( q \). Для этого используем формулу дискриминанта:

\[
D = 1^2 — 4\left(\frac{3}{b_1} + 1\right)
\]

Упростим дискриминант:

\[
D = 1 — \frac{12}{b_1} — 4 = \frac{12}{b_1} \leq -3;
\]

Получаем неравенство:

\[
12 + 3b_1 \leq 0, \quad -4 \leq b_1 \leq 0;
\]

Теперь рассмотрим возможные значения для \( b_1 \):

1) Если \( b_1 = -1 \), то:

\[
q^2 + q + 1 = 3, \quad q^2 + q — 2 = 0;
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда: }
\]

\[
q_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad q_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2;
\]

2) Если \( b_1 = -2 \), то:

\[
q^2 + q + 1 = 1.5, \quad q^2 + q — 0.5 = 0;
\]

Решаем это уравнение:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 1 + 2 = 3 \neq k^2.
\]

3) Если \( b_1 = -3 \), то:

\[
q^2 + q + 1 = 1, \quad q^2 + q = 0;
\]

Решаем это уравнение:

\[
q(q + 1) = 0, \quad q_1 = 0, \quad q_2 = -1;
\]

4) Если \( b_1 = -4 \), то:

\[
q^2 + q + 1 = 0.75, \quad q^2 + q + 0.25 = 0;
\]

Решаем это уравнение:

\[
q^2 + q + \frac{1}{4} = 0, \quad \left(q + \frac{1}{2}\right)^2 = 0, \quad q = -\frac{1}{2};
\]

Ответ:

\[
-1; \, 2; \, -4; \, -1; \, -1; \, -1; \, -3; \, 3; \, -3; \, -4; \, 2; \, -1.
\]